Rownia pochyla

[nogiln]

z jakim przyspieszenie musi poruszac sie w kierunku poziomym rownia pochyla o kacie A, aby lezace na niej cialo wznosilo sie po powierzchni tej rowni? Wspolczynik tarcia miedzy cialem a powierzchnia rowni wynosi U, przyspieszenie ziemskie G

[Moraxus]

Mi wyszło \(\displaystyle{ a>\frac{G(sin \alpha +U \cdot cos \alpha )}{cos \alpha -U \cdot sin \alpha }}\)

Rysunek:


Siłę bezwładności \(\displaystyle{ F _{b}}\) oraz siłę mG trzeba rozłożyć na składowe równoległe do kierunku ruchu i prostopadłe do równi.
Na rysunku oznaczyłem te składowe jako \(\displaystyle{ F _{1}, F _{2}, F _{3}, F _{4}}\)

Jak widać ciało będzie poruszać się w górę, wtedy gdy \(\displaystyle{ F _{4}>F _{1}+T}\)

Trzeba obliczyć wszystkie te siły i podstawić do tego wzoru, a potem wyliczyć przyspieszenie.
Zacznijmy od siły \(\displaystyle{ F _{4}}\).

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{F _{4} }{F _{b}}}\)

Jako że \(\displaystyle{ F _{b}=ma}\) możemy napisać:
\(\displaystyle{ F _{4}=ma \cdot cos \alpha}\)

Mamy siłę \(\displaystyle{ F _{4}}\) teraz policzmy \(\displaystyle{ F _{1}}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{F _{1}}{mG}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ F _{1} =mG \cdot sin \alpha}\)

Jeszcze tylko siła tarcia.
\(\displaystyle{ T=Nf}\) - wzór na tarcie (N to nacisk a f to współczynnik, który u nas wynosi U)

Czyli w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ T=U(F _{2}+F _{3})}\) (Ponieważ F2 i F3 to siły działające prostopadle do podłoża)

Siły F2 i F3 obliczamy tak jak poprzednie, wykorzystując funkcje trygonometryczne.
Wychodzi:
\(\displaystyle{ F _{2}=mG \cdot cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ F _{3}=sin \alpha \cdot ma}\)

Teraz wystarczy podstawić wszystkie siły do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ ma \cdot cos \alpha >mG \cdot sin \alpha +U(mG \cdot cos \alpha +ma \cdot sin \alpha )}\)

Masa się ładnie skraca:
\(\displaystyle{ a \cdot cos \alpha >G \cdot sin \alpha +UG \cdot cos \alpha +U \cdot a \cdot sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ a \cdot cos \alpha -U \cdot a \cdot sin \alpha >G(sin \alpha +U \cdot cos \alpha )}\)

Przyspieszenie przed nawias
\(\displaystyle{ a(cos \alpha -U \cdot sin \alpha )=G(sin \alpha +U \cdot cos \alpha )}\)

\(\displaystyle{ a>\frac{G(sin +U cos )}{cos -U sin }}\)