Algebra na dzień dobry

[MalikMP]

Zamierzam wrócić do algebry przed studiowaniem fizyki kwantowej, więc potrzebuje świerzego spojrzenia na algebre tzn. Def. Tw. Def. Tw. Df. Tw. Df. Tw. nie zachęca do bardzo wnikliwej analizy problemu, więc chciałbym żeby ktoś napisał na co mam położyć nacisk i dlaczego? To, że "równania" istniały od dawna to wiem, wiem że ludzie twożyli też tzw. "układy równań" ich interpretacja geometryczne jest stosunkowo wyrazista i ich potrzeba geometryczna też jest uzasadniona no chociażby mając dwie proste na płaszczyźnie chcemy sprawdzić czy się przecinają! Ale podejrzewam, że musi też istnieć potrzeba algebraiczna - czy tak?. Wiem również jak to nie więcej było z teorią pierwszych wyznaczników i ich rolą redukowania zmiennych, zatem wiem że macieże wiążą się ściśle z układami równań i ich rozwiązaniami. Co takiego jest w przekształceniach liniowych że tak o nich głośno w Algebrze?. Dlaczego tak często spotyka się słowo "liniowe" (przekształcenie, równanie). Przestrzenie wektorowe, jaka jest ich rola poza kolejnym uogulnieniem pewnych struktur ( czy systemów algebraicznych )? Patrząc z punktu widzenia fizyka na wektory, to lepiej patrzeć na ich geometryczne właściwości czy algebraiczne?Przestrzenie wektorowe skąd taka nazwa bo groźnie to brzmi?
Może ktoś w końcu napisze książke z algebry po ludzku? (Widziałem już wiele książek z matematyki ale musze przyznać że te algebraiczne to dla cyborgów chyba są Dw. Tw. Dw. Tw. Dw. Tw. Dw.), zgodze się że geometria również pisana jest w podobnym stylu, ale ona stważa większe pole do wyobraźnie i to ją jakoś usprawiedliwia.

[Lady Tilly]

Powiem szczerze. Ktoś mi kiedyś poradził, że jak coś komuś tłumaczę lub przedstawiam jakiś problem to najlepiej zrobić to obrazowo (w matematyce graficznie). Trudno jest coś pokazać graficznie jeśli się nie podejdzie do sprawy algebraicznie. Łatwo powiedzieć, że sprawa wygłąda tak jak na załączonym obrazku, ale owe obrazki mogą być mało precyzyjne - stąd praktyczne zastosowanie metod algebraicznych. Czasem musisz udowodnić, że dwie proste przecinają się w określonym punkcie a nie powiesz na oko bo na oko to jeden chłop umarł.

[Arbooz]

I tu jest ten bug, że książki o bardziej specjalistycznych problemach są pisane jak dla specjalistów, czyli strasznie sucho. Zasada jest taka, że książki do podstawówki/gima/licka są pisane zrozumiałym językiem, poparte przykładami, itp. żeby człowieka nie zniechęcić.

Ostatnio zacząłem czytać "Podstawy analizy matematycznej" W. Rudina i aż się przeraziłem, że książki matematyczne są tak ciężko pisane. No cóż, to już nie są bajeczki dla przedszkolaków i chyba będziemy musieli przywyknąć do takich formalnych książek. v.v

BTW: z książki tej chwilowo zrezygnowałem i zabrałem się za znacznie przyjemniejszą klasykę: "Analiza matematyczna w zadaniach" Krysickiego i Włodarskiego

[MalikMP]

Ja mam inne zdanie, zbiór: KSIĄŻKA = {Df,Tw,dowód,Df,Tw,dowód,...,} to zlepka - gotowa i obrobiona, poukładana w pewny charakterystyczny dla danego trędu ciąg ( napewno na układ tego ciągu nie mały wpływ ma data przedstawienia (dowodu, odkrycia ) danego twierdzenia ). Niejedno twierdzenie ma swoją historię, powiedzmy łączy się znim jakiś problem natury rzeczywistej - przyrodniczej , czy geometrycznej jak to często bywało. Zapewne istniało coś ( była jakaś przyczyna ), że ktoś go sformuował i udowodnił skoro jest!!!. I teraz pisze: niejeden mądry tego świata widząc dane twierdzenie potrafi naświetlić jego znaczenie, przyczynę narodzin (czy to w matematyce czy naukach przyrodniczych) choćby dla siebie samego żeby dane twierdzenie nie było dla niego suchą konsekwencją innych i było tylko zlepką znaczków. Niestey jak to często bywa zatrzymuje te wiedze dla siebie a później powiela już poraz 10 KSIĄŻKA_10 = {Df,Tw,dowód,Df,Tw,dowód,...,}.
I co to znaczy dla "specjalistów". Wedługo mnie to właśnie twoji specjaliści piszą książke dla ( po twojemu ) niespecjalistów, żeby sami mogli stać się specjalistami.

Jako wzór ksiązki napisanej "dobrym - przystępnym językiem" podam tutaj dla Pana Arbooza książke G.M. Fichtenholz "Rachunek różniczkowy i całkowy" i prosze tylko porównac te książke z innymi o tej samej tematyce.

[RobertN]

Ja tam czytałem i Fichtenholza, i Krysickiego. Łatwiej chyba (dla laika, niespecjalisty) nauczyć się analizy z Krysickiego, tam jest wszystko łopatologicznie wytłumaczone na przykładach.

[Mbach]

Ja czytam Fichtenholza: skończyłem właśnie funkcje jednej zmiennej w pierwszym tomie. Uff, ciężko było, ale i się opłacało: nie tylko znam kilka pojęć z analizy, ale także potrafię je zastosować poprzez to, że je w jakimś tam stopniu zrozumiałem. POLECAM Fichtenholza!

P.S.
Co jest w drugim tomie, bo zastanawiam się nad kupnem?

[Tomasz Rużycki]

Proszę:

... _1995.html .


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[liu]

Podstawy analizy matematycznej Rudina to ciezka lektura? To chyba nie widzieli trudnej ksiazki do analizy:P
No i nie dam sobie powiedziec, ze ta ksiazka jest sucha. Jest piekna, scisla i zwiezla, wszystkie dowody sa zgrabne i zazwyczaj wymagaja zaangazowania umyslu ze wzgledu na przedstawianie najwazniejszych kwestii z pominieciem zawilych rachunkow:) No i zadania sa bardzo dobre, jest w nich bardzo duzo ciekawych idei no i oczywiscie materialu przelozonego na nie, np. konstrukcja liczb rzeczywistych Cauchy'ego bodajze (ta ze struktura ilorazowa w zbiorze ciagow Cauchy'ego liczb wymiernych).
A tak w ogole to nie ma porownania Krysicki Wlodarski Rudin, to sa 2 rozne pozycje uczace dwoch roznych rzeczy, Rudin ma dac ogolny poglad na analize i przedstawic najwazniejsze idee i dowody twierdzen, a Krysicki-Wlodarski wyszkolic inzyniera w liczeniu calek i rozwiazywaniu rownan rozniczkowych.
Trudna ksiazke do analizy? Wez sobie 'Analize' Krzysztofa Maurina:)

Zeby nie bylo offtopicznie - co do kwantow, to np. w 'ideach chemii kwantowej' Lucjana Pieli pod koniec jest szybkie krotkie przypomnienie najwazniejszych faktow o przestrzeniach Hilberta itp. ktore sa potrzebne do studiowania tego. Moze jeszcze Bialynicki-Birula algebra liniowa z geometria, chociaz pewnie Ci sie nie spodoba bo to ksiazka matematyczna a nie podrecznik do robienia zadan bez zrozumienia taki jak powiedzmy Krysicki-Wlodarski czy Skoczylas-costam;)

W Fichtenholzu w drugim tomie sa calki takie zwykle + szeregi liczbowe + ciagi i szeregi funkcyjne +calki niewlasciwe i zalezne od parametru. W trzecim tomie calki funkcji wielu zmiennych (wielokrotne, krzywoliniowe, powierzchniowe itp.) i chyba bodajze szeregi Fouriera.
Tak swoja droga lubie go, ale jest strasznie staroswiecki i malo ogolny, taki ,,inzynierski'' - nie ma przestrzeni metrycznych itp:)

A ten temat to niestety ani troche nie pasuje do funkcji liniowej, nawet przez ta algebre liniowa sie tego nie podciagnie bo tak naprawde to przeciez szkolna funkcja liniowa y=ax+b nie jest funkcja liniowa poza szczegolnym przypadkiem b=0 Przenioslem.

[Mbach]

Dzięki za spis treści - spodobał mi się bardzo Ale cięższej książki sobie nie wyobrażam. Zaczynając pierwszy tom rozumiałem co drugie słowo. Teraz rzeczywiście jest lepiej - tylko dowody twierdzeń sprawiają trochę problemów (np. dowód na twierdznie Lagrange`a - dziwiło mnie wprowadzenie funkcji pomocniczej). W każdym razie ju ż od dawna marzę o całkach, więc wystarczy skończyć funkcje wielu zmiennych i można się brać za drugi tom.

[liu]

W zasadzie to jak nie zamierzasz docierac szybko do trezciego tomu to mozesz na razie f-cje wielu zmiennych opuscic - w sumie to na normalnym wykladzie analizy zazwyczaj robi sie tak, ze najpierw jedna zmienna, potem dopiero wiele:)
Analiza juz tak ma, ze niektore dowody to zbior trickow i olsnien, coz poradzic;)

[MalikMP]

Na wstępie chciałbym zauważyć, że temat zeszedł na boczny tor – tzn. analizę, kiedy Ja ciekaw byłem jak sprawa z Algebrą wygląda. Ktoś powie – dobra, ale o co Ci chodzi. Przecież masz książki to sobie czytaj tam wszystko jest. Do Algebry mam więcej niż 4 książki różnych autorów. Jedni zaczynają od struktur, inni od układów równań liniowych.
Ale abstrakcja jak dla mnie zaczyna się przy przestrzeniach, w jednej z książek napisana jest tak zwana „motywacja” odnośnie ich badania. Ale proszę mi po trosze opisać powódki badania tych przestrzeni. Co ja wiem. Głośno tam o wektorach: kombinacja liniowa i nieliniowa, bazy, wymiar... i tak jedziemy do przekształceń – stop. Ja chciałbym zatrzymać się już na samym początku tzn. kombinacjach linowych no nazwa uzasadniona (współrzędna wektora razy skalar). Czy ich istotą jest twierdzenie że każdy wektor da się przedstawić jako taka kombinacja nad pewnym ciałem. A związku z tym czy ma to związek z geometrią analityczną: przedstawienie wektorów w różnych układach współrzędnych? Idźmy dalej: zależność i niezależność. Jak mamy układ dwóch równań 2x +2y=2, x + y = 1 to powiem że równania te są zależne bo jedno z nich otrzymałem przez pomnożenie go przez pewną stałą. I dąć dalej skłony bym twierdzić że jeżeli mamy układ typu „n na n” tzn. liczba równań równa liczbie niewiadomych i występują w nim równania „zależne” to jest nieoznaczony o ile tylko nie jest sprzeczny. A jak to jest z tą liniową zależnością i niezależnością w śród wektorów i jak to się przekłada z suchej teorii na praktykę.?

[liu]

Z geometria analityczna owszem ma zwiazek i to bardzo duzy, cala geometria analityczna korzysta wlasnie z tego jezyka algebry:) W ogole wektory swietnie nadaja sie do geometrii, a odwzorowania liniowe i afiniczne pozwalaja nam ladnie zapisac najdziksze nawet przekształcenia.
Formalizm wektorowy pozwala milo i ogolnie rozprawic sie np. z ukladami rownan liniowych dajac dobre twierdzenia m.in. Kroneckera-Capelliego,
Te cale zabawy z liniowa zaleznoscia i niezaleznoscia i ogolnie zabawy z wektorami i wyznacznikami odnosza sie nie tylko do najprostszych sytuacji wektorow z R^3 - nie zapominaj, ze jesli masz 2 przestrzenie liniowe nad pewnym cialem i maja one ten sam wymiar to sa izomorficzne... Studiujac mechanike kwantowa bedziesz mial do czynienia przede wszystkim z przestrzenia Hilberta zawierajaca funkcje falowe.
Jesli nie pamietasz, to przestrzen Hilberta to przestrzen unitarna zupelna. Zupelnosc przestrzeni oznacza tyle, ze jesli ciag punktow przestrzeni jest Cauchy'ego (tzn. dla dowolnie malego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) jest takie N, ze mamy \(\displaystyle{ ||a_m-a_n||}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m,n>N}\) - intuicyjnie rzecz biorac ,,dalekie wyrazy roznia sie dowolnie malo''), to jest zbiezny do pewnego punktu tej przestrzeni. Przestrzen unitarna to przestrzen z zespolonym iloczynem skalarnym, unormowana norma \(\displaystyle{ ||x|| := \sqrt{}}\). Konkretnie to do przestrzeni rozpatrywanej w kwantach bierzemy zwykle iloczyn skalarny będący całką z iloczynu sprzężenia funkcji f i funkcji g, ale to w tej chwili nieważne.
Beda Ci potrzebne odwzorowania liniowe w tej oto przestrzeni (rzecz jasna odwzorowanie jest liniowe, jeśli A(x+y)=Ax+Ay oraz A(cx)=cAx), szczegolnie wazne beda odwzorowania (operatory) hermitowskie (samosprzężone). Jednym z postulatow mechaniki kwantowej jest fakt, ze tak jak w mechanice klasycznej miałeś pewne wielkosci np. energię, pęd, to w mechanice kwantowej za one zastąpione przez pewne odwzorowania liniowe w przestrzeni funkcji falowych. Znasz zapewne pojecie wartosci wlasnej - kolejny postulat mowi, ze wynikiem pojedynczego pomiaru wielosci mechanicznej A moze byc tylko pewna wartosc wlasna odpowiadającego mu operatora.
Czy taka ,,fizyczna'' motywacja algebry liniowej do Ciebie przemawia? Jak nie i uwazasz, ze to jakies glupoty to przepraszam, jest noc i chyba ledwo kontaktuję a piszę jakieś teksty o matematyce;)

[MalikMP]

UWAGA CYTUJE
"Z geometria analityczna owszem ma zwiazek i to bardzo duzy, cala geometria analityczna korzysta wlasnie z tego jezyka algebry:) W ogole wektory swietnie nadaja sie do geometrii, a odwzorowania liniowe i afiniczne pozwalaja nam ladnie zapisac najdziksze nawet przekształcenia.
Formalizm wektorowy pozwala milo i ogolnie rozprawic sie np. z ukladami rownan liniowych dajac dobre twierdzenia m.in. Kroneckera-Capelliego,
Te cale zabawy z liniowa zaleznoscia i niezaleznoscia i ogolnie zabawy z wektorami i wyznacznikami odnosza sie nie tylko do najprostszych sytuacji wektorow z R^3 - nie zapominaj, ze jesli masz 2 przestrzenie liniowe..."
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Zaczynam nie nadążać już przy "nie zapominaj, ze jesli masz 2 przestrzenie liniowe..."
Nie zapominaj że ja dopiero zaczynam się uczyć algebry!!! I pisz tak jak by adresatem tej wiadomości była osoba która słyszała o Algebrze. Pozwole sobie na małe odejście od sedna. ZACZYNAM :Wyobraś sobie że chcę odwiedzić Wielką Brytanie - słyszałem tylko o niej z tąd i tam tąd. Ty jesteś osobą która już tam była, ba może mieszka. Będąc tam wiesz na co należy zwrócić uwagę: napiszesz mi zapewnę jakie miejsca mam odwiedzać a jakie nie. Ponieważ jestem z natury taki a nieinny to pytał się Ciebie będę dlaczego mam tam być albo dlaczego nie. A Ty spróbujesz językim mi znanym udzielić odpowiedzi na moje pytania. Nie interesują mnie wiadomości w stylu: Jedź do Londynu ( bo nawet ja wiem, że powninienem odwiedzić stolicę ), a przepraszam Cię bardzo Ty mi takie rzeczy piszesz. W pospolitej ulotcę(internet) znajde takie ogulnikowe informację jak: londnon, manchester, szkocja. Ja prosze Ci żebyś opowiedział mi swoją przygodę z potworem z "loch ness". KOŃCZE. Mam nadzieje, że wyłapiesz o co Mi chodzi. Ja chciałem wiedzieć o co chodzi z tą zależnością a niezależnością tzn. prosze o światło na te dwa pojęcia, ale jak? wystarczy prościutki przykład ilustrujący ich potrzebę bycia. Najlepiej jak będzie to pisane dla gościa który to skończył dopiero cusik szkołę średnią i nie wie jak sam pisał co to są te przestrzenie liniowe, ba nie wie nawet jaka jest ich potrzeba bycia.
Pozdrawiam

[liu]

Dobrze, przepraszam, myslalem, ze jestes juz po kursie algebry po prostu;)
Weźmy zwykłą płaszczyznę i 2 wektory powiedzmy U i V na niej o wspólnym początku. Zadajemy sobie pytanie: kiedy możemy wykorzystać je jako "układ współrzędnych", czyli przedstawić dowolny wektor na płaszczyźnie w postaci xU + yV, gdzie x,y są rzeczywiste.
Kiedy tak jest?

A teraz weźmy sytuację nie w 2 wymiarach, tylko w 3. Wtedy będziemy mieli 3 wektory - za pomocą 2 możemy zapisać co najwyżej pewną płaszczyznę (podprzestrzeń tej 3-wymiarowej przestrzeni). Jak to będzie w tym przypadku?

Chociażby takie prościutkie zagadnienie ilustruje liniową zależność i niezależność wektorów. A wymiarów nie musi być wcale 3, może być ich 15 czy nawet 10000, ile sobie tylko zażyczysz.

Znając odpowiednie narzędzia właśnie z algebry liniowej będziesz mógł szybciutko to sprawdzić.

Przekształcenie liniowe? Załóżmy, że w 3 wymiarach masz jakiś układ współrzędnych (dla prostoty zwykły prostokątny) i chciałbyś go przekręcić i przesunąć jeszcze gdzieś indziej i wyznaczyć nowe współrzędne punktu który pierwotnie miał je np. (1,1,1). W praktyce będzie się to sprowadzało do paru operacji na macierzach.

Z tą izomorficznością chodzi o to, że jaką byśmy sobie nie wymyślili przestrzeń, jeśli tylko ma np. 3 wymiary, to jej własności ,,algebraiczne' będą takie same, jak zwykłej przestrzeni takiej euklidesowej, twierdzenia które udowodniliśmy bedą takie same. Np. badanie, kiedy jakiś układ równań ma rozwiązania będzie równoważne badaniu liniowej zależności i niezależności pewnych wektorów.

[MalikMP]

Muszę się przyznać, że kurs algebry jako tako minałem - dał mi on tyle że potrafiłem praktycznie ładnie rozwiązywać zadania. I mimo że wykułem na pamięć tzw. aksjomaty różnych systemów i nabyłem umiejętności sprawdzania czym owa struktura jest. To jest zero z perspektywy czasu. Mimo że potrafiłem sprawdzić czy dane wektory stanowią bazę i znałem jej określenie to ciągle zero - teraz Ty uświadomiłaś mi że ma to związek z przedstawianiem wektorów. Dziękuje za malutkie uświadomienie, widzisz twoje słowa sprawiają że nauka moja ma SENS. No a co się tyczy przekształceń liniowych to dla mnie nowe, algebry liniowej nie mniaem. Narazie stoje na układach równań, poznałem dosyć dobrze metodę Gaussa. Wsumie algorytm jest prosty, ale jak juz mamy ten układ o tzw. postaci schodkowej to wszystko ładnie widać i łatwo wnioskować. A teraz wyznaczniki!. Jak mnie coś za nie pokoji to napisze. Jeszcze raz dzięki za odpowiedz którą mi udzieliłaś będę do niej wracał jak stane jeszcze raz w moim życiu przed pokojem na drzwiach którego jest napisane "PRZESTRZENIE LINIOWE".
Pozdrawiam