przebieg zmienności funkcji

womi89 · Post autor: **womi89** » 1 gru 2008, o 10:23

witam mam taką funkcję
\(\displaystyle{ lnx+ \frac{1}{lnx}}\)
mam zbadac przebieg jej zmiennosci
i utknalem na drugiej pochodnej policzona juz jest ale nie potrafie przyrownac jej do 0 i sprawdzic czy jest wieksza i mniejsza od zera aby sprawdzic czy ma przedzialy wypuklosci, wkleslosci i punkty przegiecia

Macabre · Post autor: **Macabre** » 1 gru 2008, o 11:07

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}+x}\)

\(\displaystyle{ f''(x)=\frac{1}{x^{2}}+1 \\

f''(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}}+1=0\\
\frac{1+x^{2}}{x^{2}}=0

x=i \ v \ x=-i}\)

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-i) \ \cup \ (i; \infty ), \ f''(x)>0 \ Funkcja \ wypukla \\ \\
x (-i;0) \ \cup \ (0;i), \ f''(x)}\)

gufox · Post autor: **gufox** » 1 gru 2008, o 11:35

Macabre pisze:\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}+x}\)

\(\displaystyle{ f''(x)=\frac{1}{x^{2}}+1 \\

f''(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}}+1=0\\
\frac{1+x^{2}}{x^{2}}=0

x=i \ v \ x=-i}\)

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-i) \ \cup \ (i; \infty ), \ f''(x)>0 \ Funkcja \ wypukla \\ \\
x (-i;0) \ \cup \ (0;i), \ f''(x) 0}\) a po

2)to \(\displaystyle{ x ^{2}(1+x ^{2}) = 0 x=0}\) wiec \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem podwojnym, wiec funkcja jest tylko wypukla,
i nie ma punktow przegiecia poniewaz x wypada z dziedziny.

prosze mnie poprawic jesli sie myle, poczatkujacy jestem

Macabre · Post autor: **Macabre** » 1 gru 2008, o 12:14

1) wyrzucilem 0 z rozwiazania
2)takie cos sie stosuje jak badamy nierownosc, w ulamkach gdy licznik = 0 caly ulamek =0

Przedstawilem wynik dla liczb zespolonych(chyba dobrze) a jakby dla liczb rzeczywstych. To bez rozwiazywania, tylko odczytujac z samej \(\displaystyle{ f''(x)}\). Brak miejsc zerowych, \(\displaystyle{ f''(x)>0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ x R - {0}}\). Wynik ten sam, albo znasz jakies twierdzenie ktorego nie znam albo fart

Tez jestem poczatkujacy (1st rok elektrotechniki) ale staram sie jak najwiecej nauczyc

EDIT: TO TEZ JEST ZLE

womi89 · Post autor: **womi89** » 1 gru 2008, o 18:08

no to ja jako autor powiem tak f'(x) jest zle policzona bo powinno byc
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} - \frac{- (lnx)^{-2} }{x}}\)
a druga pochodna wygląda tak
\(\displaystyle{ \frac{-1}{ x^{2} }- \frac{2(lnx)^{-3}+(lnx) ^{-2} }{x ^{2} }}\)

i tutaj jest problem poniewaz nie potrafie zrobic analizy drugiej pochodnej aby okreslic punkty przegiecia i okreslic przedzialy wypuklosci i wkleslosci

Macabre · Post autor: **Macabre** » 1 gru 2008, o 18:33

No racja, za duzo Hospitala w ostatnich dniach bylo

btw, jestes pewien swojej drugiej pochodnej?

womi89 · Post autor: **womi89** » 1 gru 2008, o 19:01

no raczej tak bo to mi policzyli tutaj na forum

[ Dodano: 1 Grudnia 2008, 20:33 ]
policzylem cos i wyszly takie cuda:
\(\displaystyle{ f"(x)=0 \Leftrightarrow x=2
f"(x)>0 x (0,2)
f"(x) x (- ,0) (2,+ )}\)

Moze mi ktos powiedziec czy to jest dobrze
A jesli jest zel to prosilbym o poprawienie i napisanie przedzialow wkleslosci wypuklosci i punkty przegiecia