4 rozne zadanka ciag arytmetyczny

[Aguskaq]

1. Suma trzeciego i siodmego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego równa jest 10. Znajdź sumę początkowych dziewięciu wyrazów tego ciągu.
2. W 100-wyrazowym ciagu arytmetycznym a6=12 \(\displaystyle{ \pi}\) r= -2 \(\displaystyle{ \pi}\) Znajdz:
a) sume wyrazow o numerach parzystych
b) sume 25 kolejnych wyrazow zaczynajac od wyrazu a6
3. Dla jakich x liczby 2x, \(\displaystyle{ x^{2}}\) , 24 tworza ciag arytmetyczny?
4. Suma trzech poczatkowych wyrazow rosnacego ciagu arytmetycznego rowna jest 27 a suma ich kwadratow 275. Znajdz pierwszy wyraz oraz roznice ciągu.

[sea_of_tears]

1. Suma trzeciego i siodmego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego równa jest 10. Znajdź sumę początkowych dziewięciu wyrazów tego ciągu.
\(\displaystyle{ a_3+a_7=10 \newline
(a_1+2r)+(a_1+6r)=10\newline
2a_1+8r=10\newline
a_1+4r=5\newline\newline
S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9=
\frac{a_1+a_1+8r}{2}\cdot 9=
\frac{2a_1+8r}{2}\cdot 9=
\frac{a_1+4r}{2}\cdot 9=
\frac{5}{2}\cdot 9=\frac{45}{2}=22\frac{1}{2}}\)

[ Dodano: 30 Listopada 2008, 18:34 ]
2. W 100-wyrazowym ciagu arytmetycznym a6=12 pi r= -2 pi Znajdz:
a) sume wyrazow o numerach parzystych
b) sume 25 kolejnych wyrazow zaczynajac od wyrazu a6
\(\displaystyle{ a_6=12\pi \newline
r=-2\pi\newline
\newline
a_6=a_1+5r\newline
12\pi=a_1+5\cdot (-2\pi)\newline
12\pi=a_1-10\pi\newline
a_1=22\pi\newline}\)
a) sume wyrazow o numerach parzystych
\(\displaystyle{ a_2=a_1+r=22\pi-2\pi=20\pi\newline
a_{100}=a_1+99r=22\pi-198\pi=-176\pi\newline
S_{50}=\frac{a_2+a_{100}}{2}\cdot 50=\frac{20\pi-176\pi}{2}\cdot 50=
\frac{-156\pi}{2}\cdot 50=-3900\pi}\)
sume 25 kolejnych wyrazow zaczynajac od wyrazu a6
\(\displaystyle{ a_6=12\pi\newline
6+24=30\newline
a_{30}=a_1+29r=22\pi-58\pi=-36\pi\newline
S_{25}=\frac{a_6+a_{30}}{2}\cdot 25=
\frac{12\pi-36\pi}{2}\cdot 25=-300\pi}\)

[ Dodano: 30 Listopada 2008, 18:38 ]
3. Dla jakich x liczby 2x, x^{2} , 24 tworza ciag arytmetyczny?
czy chodzi o ciąg w dokładnie tej kolejności?
\(\displaystyle{ \frac{2x+24}{2}=x^2 \newline
2x+24=2x^2\newline
2x^2-2x-24=0\newline
x^2-x-12=0\newline
\Delta=1+48=49\newline
\sqrt{\Delta}=7\newline
x_1=\frac{1-7}{2}=-3\newline
x_2=\frac{1+7}{2}=4}\)
jeśli możliwe jest także ułożenie w innej kolejności ciagu napisz!!!!

[ Dodano: 30 Listopada 2008, 18:47 ]
4. Suma trzech poczatkowych wyrazow rosnacego ciagu arytmetycznego rowna jest 27 a suma ich kwadratow 275. Znajdz pierwszy wyraz oraz roznice ciągu.

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a_1+a_2+a_3=27 \\
a_1^2+a_2^2+a_3^2=275
\end{cases}
\newline

\begin{cases}
a_1+a_1+r+a_1+2r=27 \\
a_1^2+(a_1+r)^2+(a_1+2r)^2=275
\end{cases}
\newline
\begin{cases}
3a_1+3r=27 \\
a_1^2+a_1^2+2ra_1+r^2+a_1^2+4ra_1+4r^2=275
\end{cases}
\newline
\begin{cases}
a_1=9-r \\
3a_1^2+6a_1r+5r^2=275
\end{case}
\newline
3(9-r)^2+6(9-r)r+5r^2=275\newline
3(81-18r+r^2)+54r-6r^2+5r^2=275\newline
243-54r+3r^2+54r-6r^2+5r^2-275=0\newline
2r^2-32=0\newline
2r^2=32\newline
r^2=16\newline
r=4 r=-4\newline
a_1=5 a_1=13}\)

[Aguskaq]

nie ma podanych informacji o kolejnosci

[sea_of_tears]

to najlepiej rozpatrzyć jeszcze dwa przypadki
\(\displaystyle{ \frac{2x+x^2}{2}=24 \newline
2x+x^2=48\newline
x^2+2x-48=0\newline
\Delta=196\newline
\sqrt{\Delta}=14\newline
x_3=\frac{-2-14}{2}=-8\newline
x_4=\frac{-2+14}{2}=6\newline\newline
\frac{x^2+24}{2}=2x\newline
x^2+24=4x\newline
x2-4x+24=0\newline
\Delta=-80}\)