Oblicz pole

[marcinn12]

Nie wiem czy uda mi się odtworzyć to zadanie z pamięci ale wyglądało mniejwięcej tak.
1)
W rownoległoboku poprowadzono przekątna d która dzieli kąt o miarach alfa i 2alfa. Wyznacz pole tego równoległoboku.

Wiec doszedlem do momentu gdy mam dlugosc boku a i b. (z tw sinusów)

\(\displaystyle{ a= \frac{dsin2 }{sin3 }}\) i \(\displaystyle{ b= \frac{dsin }{sin3 }}\)

JAk obliczyć pole?


2)
Wysokość CD trójkąta ABC ma długość 4 i dzieli kąt w stosunku 1:2. Oblicz długości boków AB i BC jeśli wiadomo, że |AC|=5.


Tutaj zrobiłem tak ze wzynaczyłem |AD|=3, następnie z twierdzenia cosinusów wyszło mi że \(\displaystyle{ cos = \frac{4}{5}}\), poźniej jedynka trygonometryczna i \(\displaystyle{ sin = \frac{9}{5}}\). majac te dane obliczyłem \(\displaystyle{ cos2 = \frac{7}{25}}\). I tutaj stanełem. Jak teraz obliczyć bok CB?

[matshadow]

Oblicz przekątną i ze wzoru na pole trójkąta o bokach a,b,c i kącie między bokiem a a bokiem b alfa:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin\alpha}\)
Obliczasz pola 2ch trójkątów (bo na 2 trójkąty przekątna dzieli równoległobok), sumujesz i koniec

[marcinn12]

O rzeczywiście bardzo łatwe. A 2 ma ktoś pomysł ?

btw prosiłbym tez podanie wzoru na sumę sinusów bo nie znam.

[matshadow]

\(\displaystyle{ \alpha\in (0,\frac{\Pi}{3})}\)
\(\displaystyle{ 4\cdot 5\cdot \frac{\sin\alpha}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}\Rightarrow\sin\alpha =\frac{3}{5}\Rightarrow\cos\alpha=\frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin\ 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}=\frac{x}{y}}\)
(*) Z trójkąta BCD
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+4^2=y^2 (*)\\\frac{x}{y}=\frac{24}{25}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{24}{25}y}\)
\(\displaystyle{ y^2-(\frac{24\cdot y}{25})^2=16}\)
\(\displaystyle{ \frac{7}{25}y=4\\y=\frac{100}{7}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{24}{25}y=\frac{96}{7}}\)
Więc podsumowując:
Bok AB=3+x=\(\displaystyle{ 16\frac{5}{7}}\)
BOK BC=y=\(\displaystyle{ 14\frac{2}{7}}\)