scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne

[koooala]

\(\displaystyle{ y'=\frac{t+y}{t}}\)

prosze o odpowiedz od A do Z ... bo nie wiem co się z C dzieje

z gory dzieki

[meninio]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt}=1+\frac{y}{t}}\)

Robimy podstawienie: \(\displaystyle{ \frac{y}{t}=x(t) y=tx(t) \frac{dy}{dt}=x(t)+t\frac{dx(t)}{dt}}\)

Wstawiamy do równania:
\(\displaystyle{ x(t)+t\frac{dx(t)}{dt}=1+x(t) \\ \\ t\frac{dx(t)}{dt}=1 \\ \\ \frac{dx(t)}{dt}=\frac{1}{t} \\ \\ t \frac{dx(t)}{dt}=\int \frac{1}{t} \\ \\ x(t)=\ln|t|+C}\)

I wracamy do naszej zmiennej: \(\displaystyle{ y=tx(t)=t ft( \ln|t|+C \right)}\)

[koooala]

dzieki meninio,

ja otrzymałem taki sam wyniki, w książce natomiast wynik jest taki:

\(\displaystyle{ y=t\ln|Ct|}\)

i nie mam pojęcia jak to C wpadło do logarytmu

[mb]

ponieważ \(\displaystyle{ C}\) jest dowolną stałą, można pisać \(\displaystyle{ \ln ft|C \right|}\) zamiast \(\displaystyle{ C}\),skąd rozwiązanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ t\ln ft|Ct \right|}\)