\(\displaystyle{ y'=\frac{t+y}{t}}\)
prosze o odpowiedz od A do Z ... bo nie wiem co się z C dzieje
z gory dzieki
scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne
- meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt}=1+\frac{y}{t}}\)
Robimy podstawienie: \(\displaystyle{ \frac{y}{t}=x(t) y=tx(t) \frac{dy}{dt}=x(t)+t\frac{dx(t)}{dt}}\)
Wstawiamy do równania:
\(\displaystyle{ x(t)+t\frac{dx(t)}{dt}=1+x(t) \\ \\ t\frac{dx(t)}{dt}=1 \\ \\ \frac{dx(t)}{dt}=\frac{1}{t} \\ \\ t \frac{dx(t)}{dt}=\int \frac{1}{t} \\ \\ x(t)=\ln|t|+C}\)
I wracamy do naszej zmiennej: \(\displaystyle{ y=tx(t)=t ft( \ln|t|+C \right)}\)
Robimy podstawienie: \(\displaystyle{ \frac{y}{t}=x(t) y=tx(t) \frac{dy}{dt}=x(t)+t\frac{dx(t)}{dt}}\)
Wstawiamy do równania:
\(\displaystyle{ x(t)+t\frac{dx(t)}{dt}=1+x(t) \\ \\ t\frac{dx(t)}{dt}=1 \\ \\ \frac{dx(t)}{dt}=\frac{1}{t} \\ \\ t \frac{dx(t)}{dt}=\int \frac{1}{t} \\ \\ x(t)=\ln|t|+C}\)
I wracamy do naszej zmiennej: \(\displaystyle{ y=tx(t)=t ft( \ln|t|+C \right)}\)
- koooala
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 23 sty 2007, o 13:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Osw
- Podziękował: 6 razy
scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne
dzieki meninio,
ja otrzymałem taki sam wyniki, w książce natomiast wynik jest taki:
\(\displaystyle{ y=t\ln|Ct|}\)
i nie mam pojęcia jak to C wpadło do logarytmu
ja otrzymałem taki sam wyniki, w książce natomiast wynik jest taki:
\(\displaystyle{ y=t\ln|Ct|}\)
i nie mam pojęcia jak to C wpadło do logarytmu
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 21:27
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 10 razy
scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne
ponieważ \(\displaystyle{ C}\) jest dowolną stałą, można pisać \(\displaystyle{ \ln ft|C \right|}\) zamiast \(\displaystyle{ C}\),skąd rozwiązanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ t\ln ft|Ct \right|}\)