[MIX] Mix matematyczny (18)

[mol_ksiazkowy]

1. Dane są liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, b}\) t ze dla kazdej liczby całkowitej k>0 liczby \(\displaystyle{ ak+2}\) i \(\displaystyle{ bk+3}\) nie są wzglednie pierwsze. Wykaz ze \(\displaystyle{ 3a=2b}\)
2. Każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_1, a_2,...}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Poza tym liczba \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n}\) jest -dla kazdego n- liczba pierwsza lub kwadratem liczby pierwszej. Wykaz, iz ten ciag jest skonczony
3. Mówimy, że liczba wymierna \(\displaystyle{ r}\) jest kongruentna, jesli istnieje trójkat prostokątny o wymiernych bokach i którego pole wynosi \(\displaystyle{ r}\). a) Wykaz, że liczba \(\displaystyle{ r=7}\) jest liczba kongruentna. b) Wykaz ze liczba \(\displaystyle{ s=2}\) nie jest liczba kongruentna.
4. Wykaz, ze jesli \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są to liczby naturalne, to iloczyn
\(\displaystyle{ (\frac{a}{b} - \frac{c}{d})(\frac{d}{c} - \frac{b}{a})}\)
nie jest liczbą naturalną

5. Wykaz ze liczba a) M=\(\displaystyle{ 17^{19} +19^{17}}\) jest podzielna przez 36.
b) N=\(\displaystyle{ 2^{128}- 3^{62}}\) jest podzielna przez 13.

6. Niech \(\displaystyle{ p}\) bedzie liczba pierwsza, zaś Niech \(\displaystyle{ k0, wzglednie pierwsze, czy NWD liczb \(\displaystyle{ a^2+b^2, a+b}\) moze byc wiekszy od 2 ? -Dowód lub kontrprzykład.
8. Ciag \(\displaystyle{ a_j}\) dla j=1, ..400 liczb naturalnych spełnia rekurencje Ciag \(\displaystyle{ a_{n+1}= d(a_n)+d(n)}\) dla n=1, 2,...,399; gdzie d(k) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby k. Udowodnij, ze w tym ciagu wystepuje co najwyzej 210 liczb pierwszych.
9. Liczby \(\displaystyle{ x,y, z}\) i \(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2+6}{xy}}\) są całkowite. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2+6}{xy}}\) jest sześcianem liczby całkowitej.

10. Znalezc najmniejsza liczba całkowita k>0, i takz ze zachodzi: Do zbioru \(\displaystyle{ \{ 16, 17, ...k-1,k \}}\) nalezy 15 parami róznych liczb \(\displaystyle{ b_1, ...,b_{15}}\) takich ze dla m=1, ...15 \(\displaystyle{ b_{m}}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ m}\)
11. Niech p będzie liczbą pierwszą, zaś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ n}\) niech będą liczbami naturalnymi. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ 2^p+3^p=a^n}\) to \(\displaystyle{ n=1}\)

12. Niech \(\displaystyle{ H_0=0, \ H_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}\), dla n=1, 2,.... Wykaz, ze gdy n>0 to
\(\displaystyle{ H_n=1 +\frac{H_0+H_1+...+H_{n-1}}{n}}\)

13. Budujemy macierz \(\displaystyle{ a_{i,j}}\) nieskonczona tak ze na diagonalach "lewoskosnych " kładziemy kolejne liczby naturalne, tj
\(\displaystyle{ 1 \ \ 2 \ \ 4 \ \ 7 ...}\)
\(\displaystyle{ 3 \ \ 5 \ \ 8 \ \ ...}\)
\(\displaystyle{ 6 \ \ 9 \ ...}\)
\(\displaystyle{ 10 \ \ ...}\)
itd W którym wierszu i w której kolumnie stoi w tej macierzy ilczba n=2008 ?}\)

[Wasilewski]

12)
\(\displaystyle{ H_{0} + H_{1} + \ldots + H_{n-1} = H_{1} - 1 + H_{1} + H_{2} + \ldots + H_{n-1} = 2H_{1} - 1 + H_{2} + \ldots + H_{n-1} = 2H_{2} - 2 + H_{2} + H_{3} + \ldots + H_{n-1} = 3H_{2} - 2 + H_{3} + \ldots + H_{n-1} = 3H_{3} - 3 + H_{3} + H_{4} + \ldots + H_{n-1} = \ldots = nH_{n-1} - (n-1) = nH_{n} - n}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{H_{0} + H_{1} + \ldots + H_{n}}{n} = 1 +\frac{nH_{n} - n}{n} = H_{n}}\)
Można też zwyczajnie indukcją.
13) Liczby w pierwszej kolumnie są postaci \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\). Najmniejsze n takie, że:
\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} > 2008}\) da nam numer przekątnej, na której znajduje się 2008. Jest to n = 64 i liczba na pierwszym miejscu w 64 wierszu to 2048. Żeby trafić na 2008 musimy pójść o 40 wierszy w górę i 40 kolumn w prawo; przeto liczba 2008 znajduje się w 24 wierszu i 41 kolumnie.

[chris139]

5
\(\displaystyle{ 17^{19}+19^{17} \equiv -19^{19}+19^{17} (mod36)=19^{17}(-19^2+1)=19^{17}(-360)=36 (-10) 19^{17}}\)
Oczywiście podzielne przez 36

[Wasilewski]

5. b)
\(\displaystyle{ 2^{4} \equiv 3 (mod \ 13) \\
3^{3} \equiv 1 (mod \ 13)}\)
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ 2^{128} - 3^{60} 9 \equiv 3^{30+2} - 9 \equiv 1\cdot 9 - 9 \equiv 0 (mod \ 13)}\)

[MagdaW]

6.
Coś mi się wydaje, że to nie o to chodziło w zadaniu, ale spróbować można.

\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k+2)...(2p-1)2p}{(2k-p)!}=p( \frac{2(k+1)(k+2)...(2p-1)}{(2k-p)!}}\)

Teraz trzeba sprawdzić, że \(\displaystyle{ 2k-p}\)nie jest podzielne przez p. Różnica jest podzielna przez p, gdy odjemna i odjemnik dają takie same reszty przy dzieleniu przez p. Dla \(\displaystyle{ p>2}\) liczba 2k nie jest podzielna przez p, a p jest, więc 2k-p nie dzieli się przez p. Pozostaje przypadek, gdy p=2. Wówczas po obliczeniu otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{(k+1)..2 2}{(4-k)!}}\), co jest podzielne przez p=2. Przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\)chyba nie będzie podzielne, ponieważ liczba p nie ma dzielników innych od 1 i p, czyli dzielników mniejszych od p.

[mdz]

6. Dla \(\displaystyle{ p=2}\) zachodzi teza. Załóżmy, że \(\displaystyle{ p>2}\), wtedy w rozkładzie licznika na iloczyn liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) występuje w potędze o wykładniku 2. Aby zachodziła zatem analizowana podzielność przez \(\displaystyle{ p^2}\) musi być: \(\displaystyle{ k}\)

[Swistak]

13 mi się wydaje jakieś wyjątkowo łatwe.
Łatwo zauważyć, że w pierwszej kolumnie występują liczby trójkątne, co bardzo łatwo udowodnić, a wzór na nie to \(\displaystyle{ \frac{n\cdot (n+1)}{2}}\) i szukamy najmniejszej liczby trójkątnej, która jest większa niż 2008. Aby znaleźć tę liczbe mnożę 2008 przez 2, i wyciągam pierwiastek, biorę jego cechę i dodaję 1. Wychodzi 63. 63*64/2=2016. Z tego wynika, że liczba 2016 będzie w 1 kolumnie w 63 wierszu. Liczba 2008 będzie na tej samej skośnej linii co 2016 i będzie 8 rzędów wyżej i 8 kolumn bardziej na prawo, a więc będzie w 9 kolumnie i 55 wierszu.

[Dumel]

7. Dane są dwie liczby całkowite a, b >0, wzglednie pierwsze, czy NWD liczb \(\displaystyle{ a^2+b^2, a+b}\) moze byc wiekszy od 2 ? -Dowód lub kontrprzykład.

\(\displaystyle{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\)
więc
\(\displaystyle{ NWD(a^2+b^2,a+b)=NWD(2ab,a+b)}\)
\(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) więc gdyby dla pewnego nieparzystego \(\displaystyle{ k}\) zachodziło \(\displaystyle{ k|2ab}\) to albo \(\displaystyle{ k|a}\) albo \(\displaystyle{ k|b}\). w obu przypadkach \(\displaystyle{ k}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a+b}\).
\(\displaystyle{ 2|a+b}\) tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami nieparzystymi, a wtedy \(\displaystyle{ 2}\) jest najwiekszą liczbą parzystą dzielącą \(\displaystyle{ 2ab}\)
tak więc \(\displaystyle{ NWD(a^2+b^2,a+b) qslant 2}\)

[Wasilewski]

Swistak, masz rację; popełniłem błąd rachunkowy.

[Swistak]

Mix prawie nie ruszony, a już dawno zapomniany, więc podbijam .
Aby dodać coś od siebie, dam alternatywne rozwiązanie zad 7.
\(\displaystyle{ NWD(a^{2}-b^{2}; a+b)=a+b \Rightarrow NWD(a^{2}+b^{2}; a+b)=NWD(2b^{2}; a+b)}\)
\(\displaystyle{ 1=NWD(a; b)=NWD(a+b; b)}\) Skoro a+b i b są względnie pierwsze, to także \(\displaystyle{ NWD(a+b; b^{2})=1 \Rightarrow NWD(a+b; 2b^{2}) \le 2 \Rightarrow NWD(a^{2}+b^{2}; a+b) \le 2}\).

Aktualnie myślę nad 4.

[kubek1]

11. Przypuśćmy, że nasze równanie jest spełnione przez liczbę naturalną \(\displaystyle{ n>1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ p=2 \vee p=3 \vee p=5}\), to mamy sprzeczność. Stąd \(\displaystyle{ p \ge 7}\) i \(\displaystyle{ p=2k+1}\)(k jest liczbą naturalną), gdyż p jest liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ a^n=2^p+3^p=(2+3)\cdot \sum_{i=0}^{p-1}(2^{p-1-i}\cdot3^{i}\cdot(-1)^{i})=5\cdot \sum_{i=0}^{p-1}(2^{p-1-i}\cdot3^{i}\cdot(-1)^{i})}\)
Widzimy, że prawa strona jest podzielna przez 5, więc musi być podzielna przez 25. Stąd nasza suma musi być podzielna przez 5, czyli ma zachodzić:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{p-1}(2^{p-1-i}\cdot3^{i}\cdot(-1)^{i})\equiv 0(mod 5)}\)
Lecz mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{p-1}(2^{p-1-i}\cdot3^{i}\cdot(-1)^{i})\equiv\sum_{i=0}^{p-1}(2^{p-1-i}\cdot(-2)^{i}\cdot(-1)^{i})\equiv\sum_{i=0}^{p-1}(2^{p-1-i}\cdot2^{i})\equiv\sum_{i=0}^{p-1}(2^{p-1})\equiv p\cdot2^{p-1}(mod 5)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ p>5}\) i jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ p\not\equiv 0(mod 5)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ NWD(2,5)=1}\), więc \(\displaystyle{ 2^{p-1}\not\equiv 0 (mod 5)}\). Zatem:
\(\displaystyle{ p\cdot2^{p-1}\not\equiv 0(mod 5)}\), czyli mamy sprzeczność, a więc nie może być \(\displaystyle{ n>1}\), czyli \(\displaystyle{ n=1}\), c.n.d.-- 8 maja 2009, 22:08 --1. Ponieważ liczby \(\displaystyle{ ak+2}\) i \(\displaystyle{ bk+3}\) nie są względnie pierwsze, więc dzieli je pewna liczba pierwsza p, czyli zachodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ak+2\equiv0(mod p) \\ bk+3\equiv 0(mod p) \end{cases}}\)
Pierwsze równanie układu mnożymy przez b, drugie przez a, następnie odejmujemy stronami i zostaje:
\(\displaystyle{ 2b-3a\equiv0(mod p)}\).
Ponieważ kongruencja ta jest spełniona dla każdego k całkowitego, więc istotnie musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 2b=3a}\) , c.n.d.

[kluczyk]

Jak zrobić zadanie 9?

[XMaS11]

Ta liczba zawsze wynosi 8, jeśli jest całkowita.
Można zrobić metodą nieskończonego schodzenia.
Załóż, że ten ułamek jest równy \(\displaystyle{ k}\). Ze wszystkich par \(\displaystyle{ (x,y)}\), dla których tamten ułamek wynosi \(\displaystyle{ k}\) wybierz te o najmniejszej wartości \(\displaystyle{ x+y}\). Trzeba zauważyć jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest rozwiązaniem, to \(\displaystyle{ (x,kx-y)}\) też (albo \(\displaystyle{ (x,ky-x}\), nie pamiętam już, dawno temu to robiłem).

[mol_ksiazkowy]

Nierozwiązane 1-4 i 8-10...