Wykaż nierówność:
Jeżeli \(\displaystyle{ abc=1}\) \(\displaystyle{ \wedge a,b,c>0}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{a ^{2}(b+c) } + \frac{1}{b ^{2}(a+c) } + \frac{1}{c ^{2}(a+b) } qslant \frac{3}{2}}\)
Wykaż nierówność
-
Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
Wykaż nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{a ^{2}(b+c)}+ \frac{1}{ b^{2}(a+c)}+ \frac{1}{c ^{2}(a+c)}= \frac{b ^{2}c^{2}(a+c)(a+b)+a^{2}c^{2}(b+c)(a+b)+a^{2}b^{2}(b+c)(a+c)}{a^{2}b^{2}c^{2}(a+b)(a+c)(b+c)}=
\\ \\ = \frac{(abc)^{2}+ab^{3}c^{2}+ab^{2}c^{3}+b^{3}c^{3}+a^{3}bc^{2}+(abc)^{2}+a^{3}c^{3}+a^{2}bc^{3}+a^{3}b^{3}a^{2}b^{3}c+a^{3}b^{2}c+(abc)^{2}}{(abc)^{2}(a^{2}b+a^{2}c+abc+ac^{2}+ab^{2}+abc+b^{2}c+bc^{2})}=
\\ \\ = \frac{3+b^{2}c+bc^{2}+b^{3}c^{3}+a^{2}c+a^{3}c^{3}+ac^{2}+a^{3}b^{3}+ab^{2}+a^{2}b}{2+a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}}}\)
Wszystko co występuje w mianowniku znajduje się też w liczniku a poszczególne wyrazy muszą być zgodnie z założeniami dodatnie, więc całe wyrażenie jest większe lub równe prawej stonie nierówności.
\\ \\ = \frac{(abc)^{2}+ab^{3}c^{2}+ab^{2}c^{3}+b^{3}c^{3}+a^{3}bc^{2}+(abc)^{2}+a^{3}c^{3}+a^{2}bc^{3}+a^{3}b^{3}a^{2}b^{3}c+a^{3}b^{2}c+(abc)^{2}}{(abc)^{2}(a^{2}b+a^{2}c+abc+ac^{2}+ab^{2}+abc+b^{2}c+bc^{2})}=
\\ \\ = \frac{3+b^{2}c+bc^{2}+b^{3}c^{3}+a^{2}c+a^{3}c^{3}+ac^{2}+a^{3}b^{3}+ab^{2}+a^{2}b}{2+a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}}}\)
Wszystko co występuje w mianowniku znajduje się też w liczniku a poszczególne wyrazy muszą być zgodnie z założeniami dodatnie, więc całe wyrażenie jest większe lub równe prawej stonie nierówności.