druga pochodna

[womi89]

witam
mam dana funkcje \(\displaystyle{ lnx+ \frac{1}{lnx}}\)
i musze obliczyc jej pochodną
Pierwsza policzylem i wyszlo mi
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}(1- \frac{1}{ (lnx)^{2} })}\) i to jest dobrze
Natomiast nie wiem czy dobrze policzylem drugą pochodna
\(\displaystyle{ \frac{(2lnx \frac{1}{x}) (x(lnx)^{2}-((lnx)^{2}-1) 2lnx \frac{1}{x} }{(x( lnx)^{2})^{2} }}\)
czy moze ktos sprawdzic czy to jest dobrze??
A jesli jest zle to prosilbym o poprawienie i napisanie gdzie popelnilem blad
pozdrawiam

[jarzabek89]

Proponuje nie wyciągać \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) przed nawias. Będzie łatwiej.
Otrzymujemy do policzenia pochodną \(\displaystyle{ [\frac{1}{x}-\frac{-(\ln x)^{-2}}{x}]'}\)
\(\displaystyle{ [\frac{1}{x}]=\frac{-1}{x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ [\frac{-(\ln x)^{-2}}{x}]'=\frac{2\ln^{-3}x+\ln^{-2}x}{x^{2}}}\)

[womi89]

a mozesz mi powiedziec dlaczego pojawia sie
[/latex] 2ln^{-3} x + ln^{-2} x
bo tego nie rozumiem

i czy nie powinno byc
\(\displaystyle{ \frac{2lnx \frac{1}{x} x+ (lnx)^{-2} }{ x^{2} }}\)

[jarzabek89]

\(\displaystyle{ [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}\)
To chyba oczywiste.
Pierwsza część będzie wyglądała tak:
\(\displaystyle{ [-(\ln x)^{-2}]'x=-(-2)(\ln x)^{-3}\frac{1}{x}x}\)
A bierze się to stąd, że najpierw liczymy pochodną tego typu
\(\displaystyle{ [x^{a}]'=ax^{a-1}}\)
Następnie pochodna:
\(\displaystyle{ [\ln x]'=\frac{1}{x}}\)
I na końcu mnożymy przez x (nasze g(x))