rozwiąż "ciekawy"układ równań

[mycha-mycha1]

Układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+xy+y=13 \\ 2(x+y) ^{2} +x ^{2} y+xy ^{2} +30=0 \end{cases}}\)

czy należy tu sprowadzić do wzoru skróconego mnożenia?

[Moraxus]

Może troche pójście na łatwiznę, ale skoro

\(\displaystyle{ 2(x+y) ^{2}=0}\)

to wiadomo, że:

\(\displaystyle{ (x+y) ^{2}=0}\)

czyli

\(\displaystyle{ x+y=0}\)
\(\displaystyle{ x=-y}\)

I teraz tylko podstawić.

[mycha-mycha1]

ale tam jest znak "+" nie "="
wiem, mój bład

[ Dodano: 29 Listopada 2008, 14:16 ]
Moraxus, sorki, ale tam pomylilam znaki
jest plus a nie minus

[Qń]

Jeśli podstawimy: \(\displaystyle{ x+y=a, xy=b}\), to otrzymamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a+b = 13 \\
2a^2 +ab + 30 = 0
\end{cases}}\)
Z pierwszego równania wyliczamy \(\displaystyle{ b}\) i wstawiamy do drugiego, skąd łatwo otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ a=-3, b=16}\) lub \(\displaystyle{ a=-10,b=23}\)

Wracając teraz do podstawienia i używając wzorów Vieta'a (tak najprościej, choć można bez tego) dostajemy, że \(\displaystyle{ x,y}\) są rozwiązaniami równania:
\(\displaystyle{ t^2 +3t +16=0}\) albo \(\displaystyle{ t^2+10t+23=0}\)
Tylko drugie ma rozwiązania, i one właśnie będą rozwiązaniami wyjściowego układu równań.

Q.