Oblicz granice funkcji

[Dedemonn]

Witam.

Obliczyć granice:

1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-1}{x-2}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}\frac{sinx}{x}}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}}\)

4) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x^{2}-9}}\)

5) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}}}\)

Pozdrawiam.

[kiju]

3) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}* \frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}* \frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}} =}\)

LUB

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1})'}{(1-\sqrt{x+1})'} =}\)
Z Hospitala

5) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0}(1+ \frac{-3x}{1})^ \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0}[(1+ \frac{1}{ \frac{1}{-3x}})^ \frac{1}{-3x}]^*^\frac{-3x}{1}^*^\frac{1}{x} = e^-^3 = \frac{1}{e^3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{1} * \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{x} = \frac{-3}{1} = -3}\)

Mam nadzieję, że się nigdzie nie walnąłem. Jak coś to sory

[Dedemonn]

5) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0}(1+ \frac{-3x}{1})^ \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0}[(1+ \frac{1}{ \frac{1}{-3x}})^ \frac{1}{-3x}]^*^\frac{-3x}{1}^*^\frac{1}{x} = e^-^3 = \frac{1}{e^3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{1} * \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{x} = \frac{-3}{1} = -3}\)

Za 3) dzięki.
W 5) natomiast myślę, że to się sypie, gdyż f-cja dąży do e przy \(\displaystyle{ \infty}\), a tu mamy \(\displaystyle{ x \to 0}\).

Poszukuję podpowiedzi / rozwiązań do pozostałych granic.

Pozdrawiam.

[enthorn]

\(\displaystyle{ x \to 0}\) ale za to \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \to }\) i dlatego wychodzi e.

[Dedemonn]

Skoro tak się ta granica zachowuje, to już 2 granice rozwiązane ;o.

Co do pozostałych to wygląda na to, że więcej odpowiedzi się nie pojawi, więc może zapytam o:

4) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x^{2}-9}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{-}} [x] = 2}\), bo dla \(\displaystyle{ 2 qslant x < 3 , [x] = 2}\) oraz dla \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{+}} [x] = 3}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{-}} \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{(x+3)(x-3)} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{(-1)^{[x]}}{x+3} = \frac{1}{6}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(-1)^{[x]}}{x+3} = -\frac{1}{6}}\)

Zatem granica w x=3 nie istnieje.


Co robię źle? (odpowiedź do zadania to \(\displaystyle{ -\infty}\) (czy może w odp. jest błąd?))

[scyth]

Dedemonn, nie kasuj zadań w pierszym poście - mogą się komuś przydać (jeśli znajdzie się jakiś cudak korzystający z funkcji szukaj...).
Twoje rozwiązanie jest ok. Odpowiedź książkowa byłaby dobra gdyby w liczniku zamiast (x-3) było (x+3).

[Dedemonn]

Ała, nie zrobiłem tego specjalnie - już poprawiam. (a zastanawiałem się, gdzie podziała się moja odpowiedź po pierwszym 'wyślij' )