Antybiotyki, ciągi

[Mathias666]

Keflin to antybiotyk z grupy penicylin. W trakcie trwania kuracji Keflinem organizm w ciągu 6 godzin usuwa 60% tego leku (a więc w organizmie zostaje tylko 60% leku). Dlatego co jakś czas należy uzupełniać ilość leku w organizmie. Zwykle dorosłej osobie zaleca się 1g Keflinu co 6 godzin.

Niech \(\displaystyle{ K_{n}}\) oznacza ilość Keflinu (w gramach) zaraz po zażyciu n-tej dawki. Jeśli zatem chory zastosuje się do zaleceń lekarza, to:

\(\displaystyle{ K_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ K_{2}=0,4K_{1}+1}\)
\(\displaystyle{ K_{3}=0,4K_{2}+1}\)
itd.




\(\displaystyle{ K _{1} =1}\)
\(\displaystyle{ K _{2} =0,4K_{1}+1=0,4 1+1}\)
\(\displaystyle{ K _{3} =0,4K_{2}+1=0,4(0,4+1)=0,4 ^{2} +0,4+1}\)
\(\displaystyle{ K _{4} =0,4K_{3}+1=0,4(0,4^{2}+0,4+1)+1=0,4^{3}+0,4^{2}+0,4+1}\)


Napisz wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ K_{n}}\) (skorzystaj ze wzorów na sumę ciągu geometrycznego). Korzystając z tego wzoru oblicz ilość leku w organizmie chorego po drugiej dobie kuracji.

[scyth]

W trakcie trwania kuracji Keflinem organizm w ciągu 6 godzin usuwa 60% tego leku (a więc w organizmie zostaje tylko 60% leku).

Chyba zostaje 40%.

\(\displaystyle{ K_1=1 \\
K_2=0,4K_1+1=0,4+1 \\
K_3=0,4K_2+1=0,4^2+0,4+1 \\
\ldots \\
K_n=0,4K_{n-1}+1=0,4^{n-1}+\ldots+0,4+1}\)
Zatem wzór ogólny na \(\displaystyle{ K_n}\) to suma pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazie początkowym \(\displaystyle{ a=1}\) oraz ilorazie \(\displaystyle{ q=0,4}\). Stąd:
\(\displaystyle{ K_n=\frac{a(1-q^n)}{1-q}=\frac{1-0,4^n}{0,6}}\)
Po drugiej dobie (lek przyjmuje się co 6 godzin):
\(\displaystyle{ K_8=\frac{1-0,4^8}{0,6} 1,67}\)