pochodne złożone

[mat1989]

1. \(\displaystyle{ f(x)=2^{x^2}+2^{2^x}+x^{2^2}}\)
2. \(\displaystyle{ f(x)=ctg^5(\frac{\pi}{e^{2x}-1})}\)
jak to policzyć?

[M Ciesielski]

2. \(\displaystyle{ f'(x) = 5ctg^4(\frac{\pi}{e^{2x}-1}) \frac{-1}{sin^2(\frac{\pi}{e^{2x}-1})} \frac{-\pi}{(e^{2x}-1)^2} 2e^{2x}}\)

Pozdrawiam.

[mat1989]

dziękuję.
odnośnie tego pierwszego to będzie tak:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=2^{x^2}ln2\cdot 2x +2^{2x}ln2 2 + 4x^3}\)

dalej mam mały problem:
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[x]{x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(sinx)^{\sqrt{x}}}\)

te 2 przykłady to trzeba przekształcić z liczbą e, czy można to jakoś z pochodnej funkcji złożonej zrobić?

[Szemek]

wskazówka:

\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln x}{x}}}\)

\(\displaystyle{ (\sin x)^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}\ln (\sin x)}}\)

[mat1989]

ok, rozumeim czyli nie idzie tego zrobić z pochodnej funkcji złożonej, jak w podstawie potęgi mamy zmienną tak?
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[x]{x}=e^{\frac{lnx}{x}} \\ \frac{dy}{dx}=e^{\frac{lnx}{x}}(-\frac{1}{x^2}lnx+\frac{1}{x^2})}\)

\(\displaystyle{ f(x)=(sinx)^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}ln(sinx)}\\ \frac{dy}{dx}=e^{\sqrt{x}ln(sinx)}(\frac{1}{2\sqrt{x}}lnsinx-\sqrt{x}\frac{cosx}{sinx})}\)

moglibyście rzucić okiem?