Obliczyć granice funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \left( { \frac{ 2^{x} + 3^{x}}{2}} \right) ^{ \frac{1}{x} } =}\)
granica funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
granica funkcji
Mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \left( { \frac{ 2^{x} + 3^{x}}{2}} \right) ^{ \frac{1}{x} } =
\lim_{ x\to 0+}\left( \left( 1+ \frac{ 2^{x} + 3^{x} - 2}{2}\right)^{\frac{2}{2^x+3^x-2}} \right)^{ \frac{2^x+3^x-2}{2x} }}\)
Największy nawias dąży do \(\displaystyle{ e}\), a ostatni wykładnik z d'Hospitala dąży do \(\displaystyle{ \frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}\), stąd odpowiedź to:
\(\displaystyle{ e^{\frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}=\sqrt{6}}\)
Q.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \left( { \frac{ 2^{x} + 3^{x}}{2}} \right) ^{ \frac{1}{x} } =
\lim_{ x\to 0+}\left( \left( 1+ \frac{ 2^{x} + 3^{x} - 2}{2}\right)^{\frac{2}{2^x+3^x-2}} \right)^{ \frac{2^x+3^x-2}{2x} }}\)
Największy nawias dąży do \(\displaystyle{ e}\), a ostatni wykładnik z d'Hospitala dąży do \(\displaystyle{ \frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}\), stąd odpowiedź to:
\(\displaystyle{ e^{\frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}=\sqrt{6}}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 20 lis 2008, o 20:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
granica funkcji
wydaje mi się że gdyby to było \(\displaystyle{ \lim_{ x\to }}\) to wtedy największy nawias dążyłby do e
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
granica funkcji
Nie, wtedy dążyłby do jedynki. Teraz to granica typu \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{\textrm{duże coś}}\right)^{\textrm{duże coś}}}\) przy dużymcosiu dążącym do plus nieskończoności.oluszek7 pisze:wydaje mi się że gdyby to było \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }}\) to wtedy największy nawias dążyłby do e
Q.
- maatyss
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 16 lis 2007, o 17:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
- Podziękował: 23 razy
granica funkcji
Jak to obliczyć bez kalkulatora?Qń pisze: \(\displaystyle{ e^{\frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}=\sqrt{6}}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 20 lis 2008, o 20:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
granica funkcji
\(\displaystyle{ e^{ \frac{\ln 2+\ln 3}{2} } = e^{ \frac{\ln 6}{2} } = 6^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{6}}\)