Oblicz granice ciągów
1) \(\displaystyle{ an= \sqrt[3]{n ^{3}+3 } - \sqrt[3]{n ^{3}-3 }}\)
wiem, ze tutaj trzeba pewnie skorzystac z jakiegos wzoru, pytanie tylko jakiego
2) \(\displaystyle{ an= \sqrt{2} \sqrt[4]{2} \sqrt[8]{2} ... \sqrt[2^{n}]{2}}\)
3)\(\displaystyle{ an= \frac{ 3n+ (-1) ^{n} }{ (5n+1) }}\)
4) \(\displaystyle{ an= \frac{2n^{2}+sin n}{n^{2} +(-1)^{n}}}\)
oblicz granice ciągów
-
kiju
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 16 lis 2008, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sochaczew
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 2 razy
oblicz granice ciągów
1) \(\displaystyle{ \lim_{n \to } = \sqrt[3]{n ^{3}+3 } - \sqrt[3]{n ^{3}-3 } * \frac{\sqrt[3]{n ^{3}+3 } + \sqrt[3]{n ^{3}-3 }}{\sqrt[3]{n ^{3}+3 } + \sqrt[3]{n ^{3}-3 }} =}\)
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1862
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
oblicz granice ciągów
1)
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
dla
\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{n^3+1}}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt[3]{n^3-1}}\)
2)
Rozumiem, ze ostatni wyraz jest postaci:
\(\displaystyle{ \sqrt[2^n]2}\)
Wystarczy zlogarytomac:
\(\displaystyle{ \ln a_n=\ln(\sqrt 2\sqrt[4]2\cdot...\sqrt[2^n]2)=\frac 12\ln 2+\frac 14\sqrt 2+...+\frac{1}{2^n}\ln 2=}\)
\(\displaystyle{ =\frac 12\left(1+\frac 12+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)\ln2
=\frac 12 2\cdot\left(1-\left(\frac 12\right)^n\right)\ln 2
=\left(1-\left(\frac 12\right)^n\right)\ln 2}\)
Skad latwo wyznaczamy granice:
\(\displaystyle{ e^{\left(1-\left(\frac 12\right)^n\right)\ln 2}=2^{1-\left(\frac 12\right)^n}\rightarrow 2}\)
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
dla
\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{n^3+1}}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt[3]{n^3-1}}\)
2)
Rozumiem, ze ostatni wyraz jest postaci:
\(\displaystyle{ \sqrt[2^n]2}\)
Wystarczy zlogarytomac:
\(\displaystyle{ \ln a_n=\ln(\sqrt 2\sqrt[4]2\cdot...\sqrt[2^n]2)=\frac 12\ln 2+\frac 14\sqrt 2+...+\frac{1}{2^n}\ln 2=}\)
\(\displaystyle{ =\frac 12\left(1+\frac 12+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)\ln2
=\frac 12 2\cdot\left(1-\left(\frac 12\right)^n\right)\ln 2
=\left(1-\left(\frac 12\right)^n\right)\ln 2}\)
Skad latwo wyznaczamy granice:
\(\displaystyle{ e^{\left(1-\left(\frac 12\right)^n\right)\ln 2}=2^{1-\left(\frac 12\right)^n}\rightarrow 2}\)
-
Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
oblicz granice ciągów
Ad. 3.: Skorzystaj z twierdzenia o trzech ciągach:
\(\displaystyle{ \frac{3n+1}{5n+1} qslant \frac{3n+(-1) ^{n}}{5n+1} qslant \frac{3n+1}{5n+1}}\)
A teraz skorzystaj z arytmetyki granic:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{3n-1}{5n+1}= \lim_{n \to } \frac{n(3- \frac{1}{n})}{n(5+ \frac{1}{n})}= \frac{3}{5}
\\ \lim_{n \to } \frac{3n+1}{5n+1}= \lim_{n \to } \frac{n(3+ \frac{1}{n})}{n(5+ \frac{1}{n})}= \frac{3}{5}}\)
Skoro wyrazy wyrazy z lewej i prawej strony dążą do jednej wartości to wartość pomiędzy także.
Ad. 4: Też te dwie metody tylko tu zamień sinusa na \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) i przy arytmetyce granic wyłącz \(\displaystyle{ n ^{2}}\). Sorry, że dokładnie nie rozpiszę, ale muszę biec na autobus.
\(\displaystyle{ \frac{3n+1}{5n+1} qslant \frac{3n+(-1) ^{n}}{5n+1} qslant \frac{3n+1}{5n+1}}\)
A teraz skorzystaj z arytmetyki granic:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{3n-1}{5n+1}= \lim_{n \to } \frac{n(3- \frac{1}{n})}{n(5+ \frac{1}{n})}= \frac{3}{5}
\\ \lim_{n \to } \frac{3n+1}{5n+1}= \lim_{n \to } \frac{n(3+ \frac{1}{n})}{n(5+ \frac{1}{n})}= \frac{3}{5}}\)
Skoro wyrazy wyrazy z lewej i prawej strony dążą do jednej wartości to wartość pomiędzy także.
Ad. 4: Też te dwie metody tylko tu zamień sinusa na \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) i przy arytmetyce granic wyłącz \(\displaystyle{ n ^{2}}\). Sorry, że dokładnie nie rozpiszę, ale muszę biec na autobus.