kilka ciekawych granic funkcji

[kaco007]

witam! mam kilka granic funkcji z którymi nie moge sobie poradzic. z góry dziekuje za rozwiazania:)

1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to } (x+sinx)}\)
2) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0^{-} } arctg( \frac{sinx}{|x|})}\)
3) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0}(1-4x) ^{ \frac{1-x}{x} }}\)
4) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }sin3xctg5x}\)
5) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0} \frac{ln(1+x)}{x}}\)

[kiju]

5) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim_{ x\to0} \frac{(ln(1+x))'}{(x)'} = \lim_{ x\to0}\frac{ \frac{1}{1+x}*1 }{1} = \frac{ \frac{1}{1+0}*1 }{1} = 1}\)
Z de l'Hospitala (czy jak tam to się pisze)
Wydaje mi się, że tak to będzie

3)\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0} (1-4x)^ \frac{1-x}{x} = \lim_{ x\to0}(1+ \frac{-4x}{1})^ \frac{1-x}{x} = \lim_{ x\to0}[(1+ \frac{1}{ \frac{1}{-4x}} )^ \frac{1}{-4x}]^*^\frac{-4x}{1}^*^\frac{1-x}{x}} = e^4

\lim_{ x\to0} \frac{-4x}{1}* \frac{1-x}{x} = \lim_{ x\to0} \frac{-4x+4x^2}{x} = -4}\)
Wydaje mi się, że tak to będzie Mam nadzieję, że się nie walnąłem.

1) Walnąłem się. Sory \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0} \frac{sinx}{x} = 1}\)

[kaco007]

hmm.... fajnie:) a mozna to zrobic nie uzywajac tego tw de l'Hospitala? tzn jeszcze nie mialem tak na powaznie rozniczkowania i chcialbym to zrobic jakims innym sposobem:)


a z kad zwioles ta wlasnosc? \(\displaystyle{ \frac{xsinx}{x}= \frac{x}{x}}\)? to prawda?

[kiju]

Szczerze mówiąc to nie mam pomysłu jak zrobić 5 bez Hospitala

[Lorek]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\ln (1+x)^\frac{1}{x}=\ln (\lim_{x\to 0} (1+x)^\frac{1}{x})=\ln e}\)

[enthorn]

Mala poprawka do 3.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0} \frac{-4x}{1}* \frac{1-x}{x} = \lim_{ x\to0} \frac{-4x+4x^2}{x} = }\)

Wiec

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0}(1-4x) ^{ \frac{1-x}{x} }=e^\infty=\infty}\)

[kiju]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0} \frac{-4x}{1}* \frac{1-x}{x} = \lim_{ x\to0} \frac{-4x+4x^2}{x} = \lim_{ x\to0} \frac{x(-4+4x)}{x(1)} = \frac{-4+4*0}{1} = -4}\)

[enthorn]

A tak przepraszam pomylilo mi sie ze x dazy do nieskonczonosci... Wpadka.

[maatyss]

a 2) i 4) ?

[Harry Xin]

2) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0^{-} } arctg( \frac{sinx}{|x|})}\)
\(\displaystyle{ \boxed{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x}=1}
\\ \lim_{ x\to0^{-} } arctg( \frac{sinx}{|x|})=\lim_{ x\to0^{-} } arctg( \frac{sinx}{-x})=\lim_{ x\to0^{-} } arctg( -1)=- \frac{ \pi }{4}}\)

4) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }sin3xctg5x}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \sin 3x \ctg 5x= \lim_{x\to0 } \frac{ \sin 3x \cos 5x}{ \sin 5x}= \frac{0}{0}}\)

Mamy symbol nieoznaczony, więc możemy skorzystać reguły de l'Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0 } \frac{( \sin 3x \cos 5x)'}{( \sin 5x)'}= lim_{x \to 0} \frac{3 \cos x \cdot \cos 5x +5 \sin 3x (- \sin x)}{5 \cos x}=
\\ =\frac{3 \cdot 1 \cdot 1+5 \cdot 0 \cdot 0}{5 \cdot 1}= \frac{3}{5}}\)

@edit: Dopiero zauważyłem, że wolisz bez de l'Hospitala...
No to stosujesz tę samą własność co w pierwszym przykładzie:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0 } \frac{ \sin 3x \cos 5x}{ \sin 5x}= \lim_{x \to 0} \frac{ \sin 3x}{3x} \cdot \cos 5x \cdot \frac{5x}{ \sin 5x} \cdot \frac{3}{5}= \lim_{x \to 0} \frac{3}{5} \cos 5x= \frac{3}{5} \cdot 1= \frac{3}{5}}\)