Udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f:G G}\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(a) = a^{-1}}\) jest automorfizmem grupy \(\displaystyle{ G}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ G}\) jest grupą przemienną.
W miarę możliwosc prosze o pomoc.
Pozdrawiam!
automorfizm -> grupa abelowa dowód
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
automorfizm -> grupa abelowa dowód
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Jesli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest automorfizmem, to:
\(\displaystyle{ ab=\varphi(b^{-1}a^{-1})=\varphi(b^{-1})\varphi(a^{-1})=ba}\)
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Jesli \(\displaystyle{ G}\) jest przemienna, to:
\(\displaystyle{ \varphi(ab)=b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}=\varphi(a)\varphi(b)}\)
Jesli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest automorfizmem, to:
\(\displaystyle{ ab=\varphi(b^{-1}a^{-1})=\varphi(b^{-1})\varphi(a^{-1})=ba}\)
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Jesli \(\displaystyle{ G}\) jest przemienna, to:
\(\displaystyle{ \varphi(ab)=b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}=\varphi(a)\varphi(b)}\)