Udowodnić nierówność - Lagrange

[goldenka]

Uzasadnić nierówność (twierdzenie lagrangea)
\(\displaystyle{ \frac{tgx}{x} < \frac{tgy}{y} \ \ \ \ \ \ 0}\)

[luka52]

Nierówność zapiszmy w postaci \(\displaystyle{ \tfrac{\tg x}{x} - \tfrac{\tg y}{y} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ x-y \neq 0}\) możemy obustronnie podzielić równanie przez wspomniane wyrażenie, jednak pamiętajmy, że \(\displaystyle{ x-y}\) zatem należy zmienić znak:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{\tg x}{x} - \frac{\tg y}{y}}{x - y} > 0}\)

Zastosujemy teraz tw. Lagrange'a dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \tfrac{\tg x}{x}}\), zatem:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{\tg x}{x} - \frac{\tg y}{y}}{x - y} = \frac{1}{\xi \cos^2 \xi} - \frac{\sin \xi}{\xi^2 \cos \xi} = \frac{\xi - \sin \xi \cos \xi}{\xi^2 \cos^2 \xi}}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ \xi \in (x,y)}\).
Oczywiście dla dowolnego \(\displaystyle{ \xi}\) z rozważanego przedziału jest zarówno \(\displaystyle{ \xi^2 \cos^2 \xi > 0}\) jak i \(\displaystyle{ \xi > \tfrac{1}{2} \sin 2 \xi}\), z czego wynika że \(\displaystyle{ f'(\xi) > 0}\) a tym samym nierówność jest prawdziwa.