najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji

[natka88]

\(\displaystyle{ f(x)= x^{2} lnx}\) w przedziale x [1,e]

Trzeba wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale. Mógłby mi ktoś pomóc to rozwiązać i wytłmaczyć? Chciałabym to w miarę rozumieć...

[goldenka]

Na początku liczymy wartość funkcji na krańcach przedziału:
\(\displaystyle{ f(1)=1^{2}ln1=0}\)
\(\displaystyle{ f(e)=e^{2}lne=e^2}\)

Następnie szukamy ekstremów:

\(\displaystyle{ f'(x)=2xlnx+x}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=0 2xlnx+x=0}\)
\(\displaystyle{ x=e^{-1/2} D}\)

Czyli widać że najmniejszą wartością funkcji jest 0 a największą \(\displaystyle{ e^2}\)

Ogólnie jest taki przepis:
1. Liczymy wartość funkcji na krańcach przedziału
2. Znajdujemy ekstrema funkcji
3. Znajdujemy punkty, w których pochodna nie istnieje i liczymy wartość funkcji w tych punktach

Spośród tych wszystkich wartości wybieramy następnie największą i najmniejszą:)
Mam nadzieję że pomogłam
Pozdrawiam

[natka88]

A mam jeszcze takie małe pytanie:
Skąd wzięłas \(\displaystyle{ x= e ^{-1/2} D}\) ?

[goldenka]

\(\displaystyle{ e^{-1/2} 0.61}\)
Natomiast nasza dziedzina iksów to"
\(\displaystyle{ x [1,e]}\)

Zatem \(\displaystyle{ e^{-1/2}}\) nie należy do naszej dziedziny:)

[natka88]

Aha..
To jak mam następne zadanie takie:
\(\displaystyle{ arctgx - \frac{x}{2}}\) w przedziale [0,2]
to mam:

\(\displaystyle{ f(0)=arctg0 - \frac{0}{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ f(2)= arctg2 - \frac{2}{2} = 1}\) (?)

Pochodna:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+ x^{2} } - \frac{2}{4}}\)

największa wartość - 2
najmniejsza - 1

Czy to jest dobrze?

[goldenka]

\(\displaystyle{ f(0)=0}\)
\(\displaystyle{ f(2)= arctg2 - \frac{2}{2} = arctg2-1 \approx 0.11}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{1+ x^{2} } - \frac{1}{2}}\) - to masz dobrze
Ale teraz szukasz ekstremum czyli przyrownujesz f'(x)=0 czyli z tego wychodzi że x=1 lub x=-1 ktory nie nalezy do dziedziny.
Zatem

\(\displaystyle{ f(1)=arctg(1)- \frac{1}{2}= \frac{\pi}{4}- \frac{1}{2} \approx 0.3}\)

Najwieksza wartosc zatem to \(\displaystyle{ f(1)=\frac{\pi}{4}- \frac{1}{2}}\) a najmniejsza to \(\displaystyle{ 0}\)

Mam nadzieje ze sie nigdzie nie pomylilam.