Potęgi o wykładniku naturalnym

[Mumin_09]

Witam mam problem z rozwiązaniem kliku zadań na potęgach. Jeśli ktoś mógłby napisać jak je zrobić byłbym bardzo wdzięczny.

Zad 1.
Oblicz:

\(\displaystyle{ \frac {(1024 - 2^{7}) - 343}{2^{7} * 7^{5}}}\)

\(\displaystyle{ \frac {(5^{20} + 5^{18}) * (3^{4})^{3}}{(5^{16} + 5^{14}) * 9^{5}}}\)

\(\displaystyle{ \frac {(9 * 5^{12} - 5^{13}) * 8^{3}}{2^{9} * 625^{3}}}\)

Zad 2.
Wykaż, że liczba:

\(\displaystyle{ 6 * 5^{3} + 5^{4} + 5^{5}}\) jest podzielna przez 10,

\(\displaystyle{ 2 * 3^{5} + 3^{6} + 3^{7} + 3^{8}}\) jest nieparzysta

\(\displaystyle{ 5 * 3^{7} + 2 * 3^{6} + 3 * 3^{5}}\) jest parzysta

Zad 3.
Rozwiąż równania:

\(\displaystyle{ 2^{17} * x - 16^{4} * 3 = 5 * (4^{8} * x - 3 * 2^{17})}\)

\(\displaystyle{ \frac {x}{2^{5}} + (\frac {1}{4})^{2} = (- \frac {1}{8})^{2} * x + \frac {1}{2^{3}}}\)

Zad 4.
Porównaj liczby:

\(\displaystyle{ \sqrt{6} + \sqrt {5}}\) oraz \(\displaystyle{ (\sqrt {6} - \sqrt {5} )^{-1}}\)

Zad 5.
Usuń niewymierności z mianownika następujących wyrażeń:

\(\displaystyle{ \frac {1}{\sqrt[3]{2} - 1}}\)

\(\displaystyle{ \frac {1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}}\)

Zad 6.
Usuń niewymierność z mianownika ułamka:

\(\displaystyle{ \frac {1}{\sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{10} - \sqrt{5}}}\)

\(\displaystyle{ \frac {1}{\sqrt{14} + \sqrt{21} + \sqrt{15} + \sqrt{10}}}\)

\(\displaystyle{ \frac {1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}}\)

Z góry dzięki za pomoc.

[lukki_173]

Witam
Zad 4.

Liczby są równe, ponieważ:

\(\displaystyle{ (\sqrt {6} - \sqrt {5} )^{-1}= \frac{1}{\sqrt {6} - \sqrt {5}} = \frac{\sqrt {6} + \sqrt {5}}{6-5} = \sqrt {6} + \sqrt {5}}\)


[ Dodano: 23 Listopada 2008, 00:24 ]
Zad 5.
a)

Ze wzoru na różnicę sześcianów \(\displaystyle{ a ^{3} -b ^{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac {1}{\sqrt[3]{2} - 1}= \frac{ \sqrt[3]{4}+ \sqrt[3]{2} +1 }{ (\sqrt[3]{2} - 1 ) (\sqrt[3]{4}+ \sqrt[3]{2} +1) } = \frac{ \sqrt[3]{4}+ \sqrt[3]{2} +1 }{ ( \sqrt[3]{2}) ^{3} -1 ^{3} } = \sqrt[3]{4}+ \sqrt[3]{2} +1}\)

[ogre]

Zad 6.

c)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} * \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}}\)

[lukki_173]

Zad 1.
b)

\(\displaystyle{ \frac {(5^{20} + 5^{18}) * (3^{4})^{3}}{(5^{16} + 5^{14}) * 9^{5}}=
\frac{3 ^{12}*(5 ^{20}+5 ^{18} ) } {3 ^{10}* (5 ^{16}+5 ^{14} )} =
\frac{3 ^{2}*5 ^{14}*(5 ^{6}+ 5 ^{4} ) }{5 ^{14}* (5 ^{2}+1 )} =
\frac{3 ^{2}* 5 ^{4}* (5 ^{2}+1 )}{26} =
\frac{26*3 ^{2}*5 ^{4} }{26} =
3 ^{2} *5 ^{4} =3 ^{2} *5 ^{2} *5 ^{2} =5 ^{2} *15 ^{2} =75 ^{2} =5625}\)

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 00:58 ]
Zad 1.
c)

\(\displaystyle{ \frac {(9 * 5^{12} - 5^{13}) * 8^{3}}{2^{9} * 625^{3}}=
\frac{5 ^{12}*(9-5)*8 ^{3} }{2 ^{9}*5 ^{12} } =
\frac{4*8 ^{3} }{2 ^{9} } = \frac{2 ^{2}*2 ^{9} }{2 ^{9} } =4}\)

[ogre]

Swoja droga - nie ma to jak wejsc na forum i wrzucic cala prace domowa

[lukki_173]

Zad 3.
a)
\(\displaystyle{ 2^{17} * x - 16^{4} * 3 = 5 * (4^{8} * x - 3 * 2^{17})}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{17} *x-2 ^{16} *3=5*(2 ^{16}*x-3*2 ^{17})}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{16}*(2x-3)=2 ^{16}*5*(x-3*2)}\)
\(\displaystyle{ 2x-3=5x-30}\)
\(\displaystyle{ x=9}\)

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 01:20 ]
Zad 3.
b)
\(\displaystyle{ \frac {x}{2^{5}} + (\frac {1}{4})^{2} = (- \frac {1}{8})^{2} * x + \frac {1}{2^{3}}}\)
\(\displaystyle{ \frac {x}{2^{5}} + \frac{1}{2 ^{4} }= \frac{1}{2 ^{6} } *x+ \frac{1}{2 ^{3} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{3} }*( \frac{x}{2 ^{2}}+\frac{1}{2})= \frac{1}{2 ^{3} }*( \frac{x}{2 ^{3}} +1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{4}+ \frac{1}{2} = \frac{x}{8}+1}\)
\(\displaystyle{ \frac{2x}{8} - \frac{x}{8}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 01:50 ]
Zad 2.
b)
\(\displaystyle{ 2 * 3^{5} + 3^{6} + 3^{7} + 3^{8}}\)
\(\displaystyle{ 3^{5} *(2+3 ^{6}+3 ^{7} +3 ^{8} )}\)
\(\displaystyle{ 243*(2+3 ^{6}+3 ^{7} +3 ^{8} )}\)

Widać wyraźnie, że 243 jest liczbą nieparzystą, natomiast wyrażenie w nawiasie także jest nieparzyste (ponieważ 3 podniesione do potęgi naturalnej zawsze da liczbę nieparzystą, a całość powiększona jeszcze od parzyste 2 także jest liczbą nieparzystą), zatem wymnażając dwa wyrażenia nieparzyste otrzymamy liczbę nieparzystą, co należało wykazać.

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 01:58 ]
Zad 2.
c)
\(\displaystyle{ 5 * 3^{7} + 2 * 3^{6} + 3 * 3^{5}=3 ^{5} *(5*3 ^{2}+2*3+3)=3 ^{5}*(45+6+3)=3 ^{5} *54}\)

Po kilku prostych przejściach widać, że otrzymaliśmy mnożenie liczby nieparzystej i parzystej, zatem ich iloczyn będzie liczbą parzystą, co należało wykazać.

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 02:06 ]
Zad 2.
a)
\(\displaystyle{ 6 * 5^{3} + 5^{4} + 5^{5}=5 ^{2}*(6*5+5 ^{2}+5 ^{3} )=25*180}\)

Widać, że liczba 180 jest podzielna przez 10, ponieważ kończy się cyfrą 0, zatem pomnożona przez dowolną liczbę, w tym przypadku przez 25, zawsze da liczbę podzielną przez 10, co należało wykazać.

[Mumin_09]

Wielkie dzięki za pomoc, punkt dla was.

Swoja droga - nie ma to jak wejsc na forum i wrzucic cala prace domowa

Nie pracę domową, tylko przygotowuję się do sprawdzianu i akurat powyższych przykładów nie za bardzo rozumiałem jak zrobić.