Zbadać zbieżność szeregu

[lukasz_768]

Zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{n^{2}+3}-n}{\sqrt[3]{n+1}}}\)

Z góry dzięki.

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n^2+3}-n}{\sqrt[3]{n+1}}=
\frac{(\sqrt{n^{2}+3}-n)(\sqrt{n^{2}+3}+n)}{(\sqrt[3]{n+1})(\sqrt{n^{2}+3}+n)}=
\frac{n^{2}+3-n^2}{(\sqrt[3]{n+1})(\sqrt{n^{2}+3}+n)}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{3}{n^{\frac 43}\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}\right)\left(\sqrt{1+\frac{3}{n^2}}+1\right)}\le \frac{3}{n^{\frac 43}}}\)

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\frac 43}}}\) jest zbiezny bezwzglednie, bo \(\displaystyle{ \frac 43>1}\), zatem badany szereg rowniez.

[Tordek]

a ja mam takie pytanie, gdzie popelniłem błąd...

oszacowałem że szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\n} a _{n} (ten z zadania ) qslant \sum_{n=1}^{\n} \frac{ \sqrt{n^{2} +3} -n^{2} }{ n^{2}+1} }}\)
Nierównosc chyba jest prawdziwa ? a ten szereg jest przeciez rozbieżny(nie spełnia warunku koniecznego), wiec ten "wiekszy" też chyba powinien ?

[marcin_p321]

@Tordek

Masz racje - to szacowanie jest prawdziwe, ale przegiąłeś i szereg jest rozbieżny do \(\displaystyle{ -\infty}\).