rownanie rozniczkowe z f trygonometr

[Jacek_fizyk]

Hej Czy ktos moglby mi wytlumaczyc dlaczego w rozwiazaniu autor zadania dostaje jako czynnik calkujacy \(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}}\) natomiast mi wychodzi \(\displaystyle{ e^{ln(sinx)}}\)

Rownanie rozniczkowe ma postac:

\(\displaystyle{ y^{'}tan(x) = y + sin^{2}x}\)

rozwiazaniem tego rownania ma byc \(\displaystyle{ y = sin^{2}x + Csin(x)}\)
Przyklad wydaje sie by banalny ale ja dop zaczalem przygode z rownaniami rozniczkowymi i zupelnie utknalem z tym przykladem. Bede wdzieczny z wskazowki.
Podrawiam

[luka52]

Ponieważ musisz przekształcić wierw równanie do postaci

\(\displaystyle{ y' - y \cot x = \sin x \cos x}\)

Dopiero teraz możesz wyznaczyć czynnik całkujący jako

\(\displaystyle{ U = \exp ft\{ t ( -\cot x ) \text d x \right\} = \exp ( - \ln \sin x ) = \frac{1}{\sin x}}\)

.

[figur]

Luka52 chyba się trochę pomylił, podobnie zresztą jak autor:P

Sam także raczkuję z równaniami różniczkowymi (stąd metoda, którą zrobiłem to zadanie będzie dość toporna), ale otrzymałem nieco inny wynik (czynnik całkujący):

\(\displaystyle{ y^{'}tgx=y+sin^{2}x}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} tgx-y-sin^{2}x=0}\)

\(\displaystyle{ (-y-sin^{2}x)dx+tgxdy=0}\)

\(\displaystyle{ M= -y-sin^{2}x}\)

\(\displaystyle{ N= tgx}\)

\(\displaystyle{ \frac{ M}{ y}= -1}\)

\(\displaystyle{ \frac{ N}{ x}=1=tg^{2}x}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ M}{ y} - \frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \frac{-1-1-tg^{2}x}{tgx} = \frac{-2}{tgx} -tgx}\)

\(\displaystyle{ u(x)=e^{-2 t ctgxdx - t tgxdx} = \frac{cosx}{sin^{2}x}}\) i to by właśnie był ten czynnik całkujący. Sprawdziłem i się zgadza. Jeśli natomiast są jakieś błędy w moim rozwiązaniu, to bardzo proszę o ich wskazanie:)

[Jacek_fizyk]

tylko czy ktos mi moze prosto rozpisac ta rownosc (ten wlasnie czynnik calkujacy na ktorym utknalem) on ma wyjsc tak jak Ci wyszlo \(\displaystyle{ \frac{1}{sin(x)}}\)

jak mozna pokazac ze \(\displaystyle{ exp(-lnsinx) =1/sinx}\)?

ja rozwiazuje to zadanie tak (zgodnie z instrukcjami wykladowcy:

\(\displaystyle{ y^{'} - \frac{cosx}{sinx}y = sinxcosx}\)

pozniej staram sie wyznaczyc czynnik calkujacy czyli

\(\displaystyle{ \int-\frac{cosx}{sinx}dx = -ln(sinx) + C}\) czyli czynnik calkujacy \(\displaystyle{ e^{-lnsinx}}\)

nastepny krok to pomnozyc cale rownanie przez czynnik calkujacy :
\(\displaystyle{ y^{'}e^{-lnsinx} - \frac{cosx}{sinx}ye^{-lnsinx} = sinxcosxe^{-lnsinx}}\)

dalej zapisuje pierwsza czesc od lewej jako
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}(ye^{-lnsinx})= \int sinx*cosx*e^{-lnsinx}dx}\) i to jest wlasnie ten moment gdzie moje swiatelko w tunelu znika...

'jako rozwiazanie zadania' jest tylko:

czynnik calkujacy \(\displaystyle{ e^{-lnsinx}}\)
i koncowy zapis... \(\displaystyle{ y(x) = sinx(\int\ cosxdx+c) = sinx(sinx+c) = sin^{2}x+Csinx}\)

zadanie nie wydaje sie byc trudne a jednak....a wazne jest dla mnie zrozumienie *procesu* rozwiazywania rownan rozniczkowych bo bede sie nimi poslugiwac przez caly okres studiow a zatem musze je naprawde umiec.
Bede wdzieczny za wnioski i komentarze.
Z gory dzieki

[luka52]

figur

Jacek_fizyk, \(\displaystyle{ \exp \{ - \ln \sin x \} = \exp ft\{ \ln \frac{1}{\sin x} \right\} = \frac{1}{\sin x}}\)

[Jacek_fizyk]

a wiesz jak mozna poradzic sobie z taka calka? jak to mozna rozwiazac?
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}(ye^{-lnsinx})= t sinx*cosx*e^{-lnsinx}dx}\) mam pare takich przykladow ktorych nie umiem rozwiazac przez to ze calka jest dosc skomplikowana....

[luka52]

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}(ye^{-lnsinx})= t sinx*cosx*\underbrace{e^{-lnsinx}}_{\frac{1}{\sin x}}dx = t \cos x dx = \ldots}\)

[Jacek_fizyk]

ufffff;) juz rozumiem.......od kilku dni siedze nad tym bezustannie chyba mi sie mozg przepala ze nie widze takich rzeczy, dzieki za pomoc raz jeszcze.
Pozdrawiam