punkty przegięcia funkcji

niunian · Post autor: **niunian** » 16 lis 2008, o 20:02

witam! mam problem z drugą częścią poniższego zadania tj. punkty przegięcia
zbadaj wklęsłośc, wypukłość i punkty przegięcia funkcji
\(\displaystyle{ h(x)= \frac{1}{5}x^5-2x^4+7x}\)

JankoS · Post autor: **JankoS** » 17 lis 2008, o 19:25

niunian pisze:witam! mam problem z drugą częścią poniższego zadania tj. punkty przegięcia
zbadaj wklęsłośc, wypukłość i punkty przegięcia funkcji
\(\displaystyle{ h(x)= \frac{1}{5}x^5-2x^4+7x}\)

Punkty przegięcia są w tych miejscach, w których druga pochodna jest równa 0 i zmienia znak.
\(\displaystyle{ h(x)= \frac{1}{5}x^5-2x^4+7x h'(x)=x^4-8x^3+7 h"(x)=4x^3-24x^2=4x^2(x-6)=0 x \{0, \ 6\}.}\)
W x = 0 h"(x) nie zmienia znaku, zmienia go w x = 6. Więc w tym ostatnim h(x) ma punkt przegięcia.

rooker · Post autor: **rooker** » 9 sty 2013, o 10:05

A skad wiadomo ze w punkcie 0 nie zmienia znaku a w 6 zmienia??

JankoS · Post autor: **JankoS** » 9 sty 2013, o 11:23

Można rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ h ^{''}(x) >0}\).

Frmen · Post autor: **Frmen** » 9 sty 2013, o 14:31

w przypadku wielomianu gdy masz go rozłożonego "porządnie na czynniki" niektóre czynniki sa w pierwszej potędze ale niektóre mogą być w potęgach wyższych. Potęgę ta nazywamy "krotnościa" pierwiastka.
(Krotności pierwiastków można zdefiniować dla również dla innych funkcji różniczkowalnych "dostatecznie wiele razy" w punktach gdzie mają pierwiastki ale to inny temat)

Więc kiedy znasz już pierwiastki i ich "krotności" , badanie znaku robi się "samo".

Funkcja ciągła zmienia znak w pierwiastku jeśli jego krotność jest nieparzysta, a nie zmienia znaku gdy jest parzysta.

Regułę te łatwo zapamiętać, gdy pamiętamy o funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) która jak widać ma wykładnik parzysty i pamiętamy że jej wykresem jest parabola "dotykająca" jedynie osi x a nie zmienia tam znaku.

Do ułatwienia wyznaczania przedziałów gdzie funkcja jest dodatnia służą "wężyki", które gdy byłem jeszcze w szkole były ostro tępione.