dla jakiego parametru m...

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
ktosia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 19 maja 2004, o 16:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z zimowej stolicy ;)

dla jakiego parametru m...

Post autor: ktosia »

Witam
Mam takie zadanko:
dla jakiego parametru m równanie
\(\displaystyle{ (m-1)x^2 - (m^2 + 1)x + m^2 + m = 0}\)
ma wszystkie pierwiastki całkowite?

jak je rozwiązać?
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 23:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2879
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

dla jakiego parametru m...

Post autor: Tomasz Rużycki »

Rozpatrzmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ m=1}\). Wtedy oczywiście pierwiastek jest wymierny (wtedy x=1). Jedną wartość już mamy.

Ze wzorów Viete'a mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2=\frac{m^2+1}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m^2+m}{m-1} \end{cases}}\)

Rozważmy różnicę \(\displaystyle{ x_1x_2-x_1-x_2}\):

\(\displaystyle{ x_1x_2-x_1-x_2=\frac{m^2+m}{m-1}-\frac{m^2+1}{m-1}=\frac{m-1}{m-1}=1}\), czyli

\(\displaystyle{ (x_1-1)(x_2-1)=2}\).

Pozostaje Ci tylko rozwiącać to równanie w liczbach całkowitych, oraz podstawić do wzorów Viete'a potem...:) Dwójka ma 4 dzielniki: \(\displaystyle{ \{\pm 1, \pm 2\}}\) :D


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
ktosia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 19 maja 2004, o 16:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z zimowej stolicy ;)

dla jakiego parametru m...

Post autor: ktosia »

czyli wyjdzie taki potworek:
\(\displaystyle{ x_1=3 \land x_2=2}\) lub \(\displaystyle{ x_1=2 \land x_2=3}\) lub \(\displaystyle{ x_1 =0 \land x_2=-1}\) lub \(\displaystyle{ x_1=-1 \land x_2= 0}\)
?
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 23:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2879
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

dla jakiego parametru m...

Post autor: Tomasz Rużycki »

Tak, dokładnie.

Teraz wróć do wzorów Viete'a, podstaw otrzymane wartości, a uzyskasz szukane wartości parametru \(\displaystyle{ m}\).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
ODPOWIEDZ