Proszę o pomoc (ew. rozwiązanie) przy tych kilku przykładach:
a) \(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{2n-1}-\sqrt{n+7}}\)
b) \(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{4n^{2} + 9n -2}-2n}\)
c) \(\displaystyle{ a_{n}=3n - \sqrt{9n^{2} +1}}\)
I tutaj mam kilka zadań, do których wiem, że trzeba najpierw obliczyć sumę ciągu arytm albo geom. i dopiero granicę ciągu.
d) \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1+2+3...+n}{(3n-1)^{2}}}\)
e)\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2+4+6+...+2n}{1-9n^{2}}}\)
f)\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1-4n^{2}}{2+4+6+...+2n}}\)
g)\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n^{2}+1} + \frac{1}{n^{2}+2} + ... + \frac{1}{n^{2}+2}}\)
h)\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{10n^{2}}(1+2+3+...+n)}\)
i)\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1+2+...+n}{n+2} - \frac{n}{2}}\)
j)\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^{2}+1}}}\)
Szczerze mówiąc z granicami stykam się pierwszy raz i to dla mnie czarna magia.
Oblicz granice ciągów
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7069
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1327 razy
Oblicz granice ciągów
d)
\(\displaystyle{ \frac{1+2+...+n}{(3n-1)^2}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{9n^2-6n+1}=\frac{n^2+n}{18n^2-12n+2}\to \frac{1}{18}}\)
e)
\(\displaystyle{ \frac{2+4+...+2n}{1-9n^2}=\frac{n(n+1)}{1-9n^2}=\frac{n^2+n}{1-9n^2}\to -\frac{1}{9}}\)
f) prawie jak e)
\(\displaystyle{ \frac{1+2+...+n}{(3n-1)^2}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{9n^2-6n+1}=\frac{n^2+n}{18n^2-12n+2}\to \frac{1}{18}}\)
e)
\(\displaystyle{ \frac{2+4+...+2n}{1-9n^2}=\frac{n(n+1)}{1-9n^2}=\frac{n^2+n}{1-9n^2}\to -\frac{1}{9}}\)
f) prawie jak e)
-
charlie85
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 14 mar 2008, o 02:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: k-lin/w-wa
- Pomógł: 5 razy
Oblicz granice ciągów
ad. a) \(\displaystyle{ \sqrt{2n-1}-\sqrt{n+7}=\frac{(\sqrt{2n-1}-\sqrt{n+7})(\sqrt{2n-1}+\sqrt{n+7})}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{n+7}}=\frac{n-8}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{n+7}}\to +\infty}\)
ad. b), c) - analogicznie jak w a)
ad. g) chyba miałeś na myśli \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}}\)
\(\displaystyle{ 0\leftarrow0\leq\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}\leq n\cdot\frac{1}{n^2+1}\to 0}\)
ad. h) \(\displaystyle{ \frac{1}{10n^2}(1+2+\ldots+n)=\frac{1}{10n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\to\frac{1}{20}}\)
ad. i) \(\displaystyle{ \frac{(1+2+\ldots+n)}{n+2}-\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2(n+2)}-\frac{n}{2}=
\frac{n^2+n-n^2-2n}{2(n+2)}\to-\frac{1}{2}}\)
ad. j) \(\displaystyle{ \frac{1-2+3-4+\ldots-2n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1+3+\ldots+(2n-1)-(2+4+\ldots+2n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n^2-(n^2+n)}{\sqrt{n^2+1}}\to-1}\)
ad. b), c) - analogicznie jak w a)
ad. g) chyba miałeś na myśli \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}}\)
\(\displaystyle{ 0\leftarrow0\leq\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}\leq n\cdot\frac{1}{n^2+1}\to 0}\)
ad. h) \(\displaystyle{ \frac{1}{10n^2}(1+2+\ldots+n)=\frac{1}{10n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\to\frac{1}{20}}\)
ad. i) \(\displaystyle{ \frac{(1+2+\ldots+n)}{n+2}-\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2(n+2)}-\frac{n}{2}=
\frac{n^2+n-n^2-2n}{2(n+2)}\to-\frac{1}{2}}\)
ad. j) \(\displaystyle{ \frac{1-2+3-4+\ldots-2n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1+3+\ldots+(2n-1)-(2+4+\ldots+2n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n^2-(n^2+n)}{\sqrt{n^2+1}}\to-1}\)