Zbieżność szeregów

[dreake]

Mam problem z sprawdzeniem zbieżności nast. szeregów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}sin\frac{2}{n}tg\frac{5}{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \ln\frac{n^{2}+1}{n^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{\ln n}{n}}\)

[Zordon]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}}\)

Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}}{\frac{1}{n}}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to\infty } \frac{n}{\sqrt[n]{n^{n+1}}}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty} \frac{n}{n\sqrt[n]n}=\lim_{ n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]n}=1}\)

Zatem na podstawie kryterium ilorazowego mamy, że dany szereg nie jest zbieżny (jako, że szereg harmoniczny nie jest zbiezny)

[dreake]

Już wiem jak zrobić 2) i 3) =) O pierwszym się dowiedziałem na ćw., że jeszcze nie mogę umieć sprawdzić zbieżności takiego szeregu.

Jeśli chodzi o przykład 2) to IMO łatwiej jest poprostu dowieść, że nie jest spełniony warunek konieczny =)

[Zordon]

Już wiem jak zrobić 2) i 3) =) O pierwszym się dowiedziałem na ćw., że jeszcze nie mogę umieć sprawdzić zbieżności takiego szeregu.

Jeśli chodzi o przykład 2) to IMO łatwiej jest poprostu dowieść, że nie jest spełniony warunek konieczny =)

Raczej nie mozna tak powiedziec, skoro jest spelniony ten warunek Bo wyraz ogolny zbiega przecież do zera

[charlie85]

Raczej nie mozna tak powiedziec, skoro jest spelniony ten warunek Bo wyraz ogolny zbiega przecież do zera

Moim zdaniem zbiega do jedynki. Jeśli się mylę, to mógłbyś mnie oświecić?

[Zordon]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\sqrt[n]{n^{n+1}}}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\sqrt[n]{n^n\cdot n}}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n\sqrt[n]{ n}}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty } (\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{\sqrt[n]{ n}})=0\cdot 1=0}\)

[charlie85]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}sin\frac{2}{n}tg\frac{5}{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1}\) zatem z definicji:
\(\displaystyle{ \left|\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}-1\right|1-\varepsilon=\frac{1}{2}}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ \frac{\tan\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}>1-\varepsilon=\frac{1}{2}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ n^2\sin\frac{2}{n}\tan\frac{5}{n}>n^2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{n}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{n}=\frac{5}{2}}\)
Z kryterium porównawczego szereg jest rozbieżny.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{\ln n}{n}}\)

Zbieżny z kryterium Dirichleta.