Granica ciągu o wyrazie ogólnym

[evelinaa]

Jak policzyć następujące granice? :

1. an=\(\displaystyle{ \sqrt{{n}+\sqrt{n}}-\sqrt{{n}-\sqrt{n}}}\)

\(\displaystyle{ [( \sqrt{{n}+\sqrt{n}}-\sqrt{{n}-\sqrt{n}})x( \sqrt{{n}+\sqrt{n}}+\sqrt{{n}-\sqrt{n}})] {{\sqrt{{n}+\sqrt{n}}+\sqrt{{n}-\sqrt{n}})}\)

2.an=\(\displaystyle{ \sqrt{{n^{10}} -{{2n^2} +{2}}\)
do tego w ogole nie wiem jak sie zabrac

[dreake]

Pierwsze przepisz ładnie, bo ciężko się domyślić o co chodzi
Co do drugiego to podziel przez \(\displaystyle{ n^{2}}\) pod pierwiastkiem i ladnie wyjdzie nieskonczoność

[charlie85]

Pierwsze przepisz ładnie, bo ciężko się domyślić o co chodzi
Co do drugiego to podziel przez \(\displaystyle{ n^{2}}\) pod pierwiastkiem i ladnie wyjdzie nieskonczoność

Ale jak się podzieli to wyjdzie inny ciąg;> Nie wolno ot tak sobie dzielić.
PS a dlaczego akurat przez \(\displaystyle{ n^2}\)?

[dreake]

Aj przewidziało mi się z ułamkiem =/

Jesli chodzi o drugi przykład to nie umiem tego inaczej wyjaśnić, jak:
dla kazdego n: \(\displaystyle{ 10^{n}-2n^{2}+2>0}\), czyli mamy wyrażenie z "enem", które rośnie do nieskończoności i jeszcze pierwiastek z tego, który rośnie wolniej. Więc nieskończoność.

[charlie85]

Jesli chodzi o drugi przykład to nie umiem tego inaczej wyjaśnić, jak:
dla kazdego n: \(\displaystyle{ 10^{n}-2n^{2}+2>0}\), czyli mamy wyrażenie z "enem", które rośnie do nieskończoności i jeszcze pierwiastek z tego, który rośnie wolniej. Więc nieskończoność.

A skąd nagle z \(\displaystyle{ n^{10}}\) zrobiło się \(\displaystyle{ 10^n}\)? Poza tym całe to uzasadnienie z "enem" jest niepoprawne i tak. To tylko intuicje, a nie żaden formalny dowód. A może autorce chodziło o pierwiastek n-tego stopnia w drugim?

[evelinaa]

z ta nieskonczonoscia to chyba cos nie tak, w ksiazce mam odpowiedz,ze bedzie to 1, tylko nie mam pojecia jak do tego dojsc...

[charlie85]

z ta nieskonczonoscia to chyba cos nie tak, w ksiazce mam odpowiedz,ze bedzie to 1, tylko nie mam pojecia jak do tego dojsc...

A dobrze przepisałaś wzór? Jeśli tam (w drugim) powinien być pierwiastek n-tego stopnia to faktycznie będzie 1:)

[dreake]

No racja. Przepraszam, że 2 raz źle przeczytałem, ale dziś już przesadziłem z czasem i dlatego takie pomyłki.

Ale kontynuując. \(\displaystyle{ n^{10}}\) jest lepsze bo szybciej rośnie. Więc mamy ciąg pierwiastków coraz to większych liczb.

dla n = 1: 1-2+2 = 1
dla n = 2: 1024 - 2*4 + 2 = 1018
dla n = 3: 59049 - 18 + 2 = 59033

Dlatego taką granicę można w pamięci policzyć, że to jest nieskończoność. Bo jeśli to jest intuicja to trzeba by było udowadniać ze np. n+1>n (W teorii mnogosci by mozna bylo ;p).

Czyli jak z formalnym dowodem, bo niewiem powaznie ?

[evelinaa]

wzor jest dobrze przepisany.

[dreake]

Więc albo błąd w odpowiedziach, albo źle przepisałaś przykład albo UFO zmazało "enkę". Bo bez niej granica na bank jest\(\displaystyle{ \infty}\)

[charlie85]

Dlatego taką granicę można w pamięci policzyć, że to jest nieskończoność. Bo jeśli to jest intuicja to trzeba by było udowadniać ze np. n+1>n (W teorii mnogosci by mozna bylo ;p).

Czyli jak z formalnym dowodem, bo niewiem powaznie ?

Nie wiem co ma teoria mnogości do tego, ale nadal nie jest to dowód. (nie każdy szybko rosnący ciąg ucieka do niesk.) A jaki powinien być? No z definicji trzeba pokazać, że jest to faktycznie nieskończoność, jeśli już a priori do tego doszliśmy.

[evelinaa]

ok to umowmy sie,ze tam byl en, chociaz w pierwotnej wersji go brak;p

a taka granica?:

an=\(\displaystyle{ \sqrt{{n}({n-{\sqrt{{{n}^2}{{{-1}}})}\)

[charlie85]

\(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) ? Postaraj się dobrze przepisać:)

[evelinaa]

poprawilam. pisalam to rano jeszcze na wpol przytomna stad pomylka

[charlie85]

Rozważmy dla przejrzystości wyrażenie pod pierwiastkiem (bo jeśli \(\displaystyle{ a_n\to g}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{a_n}\to \sqrt{g}}\) - o ile \(\displaystyle{ a_n>0}\))

\(\displaystyle{ n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)=n\frac{\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}=n\frac{n^2-(n^2-1)}{\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}=\frac{n}{\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}=\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}\to\frac{1}{2}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)}\to\frac{1}{\sqrt{2}}}\)