Zbadać zbieżność szeregów

[Watari]

1) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(\frac{3}{5})^n}\)
2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(\sin(\frac{1}{n})\cos(\frac{1}{n}))}\)
3) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(\sin(\frac{1}{n})\tg(\frac{1}{n}))}\)
4) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{n^2}}\)
5) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n\alpha}{(\ln10)^n}}\)
6) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\sin(n+\frac{1}{n})\pi}\)
7) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin ^2 (\frac{1}{n})}{\tg (\frac{1}{\sqrt{n})}}}\)

Będę bardzo wdzięczny za jak najszybszą pomoc, gdyż jutro piszę z tego kolokwium a tych przykładów z sinusami w żaden sposób nie rozumiem. Z góry dzięki.

Edit: Pierwszy już policzyłem z d'Alemberta, ale do reszty nie mam pojęcia jak sie zabrać. Jeszcze raz proszę o pomoc.

[ Dodano: 11 Listopada 2008, 16:44 ]
Naprawdę nikt nie umie tego zrobić?

[charlie85]

ad. 2) Można np. tak:
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right)}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{1}{n}\right)}\to1}\) zatem
\(\displaystyle{ \forall\varepsilon>0\quad\exists N\quad\forall n>N\quad\left|\frac{sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{1}{n}\right)}-1\right|\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\sin\left(\frac{1}{n}\right)>\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}}\)
Zatem z kryterium porównawczego szereg ów jest rozbieżny.

ad. 3) Wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{\tan\left(\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{1}{n}\right)}\to1}\) zatem analogicznie jak w 2) dla \(\displaystyle{ \varepsilon=1}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\tan\left(\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{1}{n}\right)}}\)

[Watari]

Dzięki wielkie, w końcu ktoś się zlitował
Możesz jeszcze wytłumaczyć, skąd w tym 2 przykładzie wzięło się to \(\displaystyle{ \frac{\sin (\frac{1}{n})}{(\frac{1}{n})} > \frac{1}{2}}\) i skąd wiesz do jakiego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) to przyrównywać?

Gdybyś jeszcze mógł rozwiązać 6) byłbym bardzo wdzięczny, bo nie wiem co zrobić z tym \(\displaystyle{ \pi}\).

[charlie85]

Możesz jeszcze wytłumaczyć, skąd w tym 2 przykładzie wzięło się to \(\displaystyle{ \frac{\sin (\frac{1}{n})}{(\frac{1}{n})} > \frac{1}{2}}\) i skąd wiesz do jakiego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) to przyrównywać?

No przecież wyraźnie stoi: "W szczególności dla \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{2}}\)". A dlaczego akurat takie? Skoro nierówność zachodzi dla dowolnego dodatniego epsilona, to w szczególności dla takiego. Możesz sobie wziąć cokolwiek dodatniego:) Przecież stałą zawsze można wynieść przed szereg i nie ma to wpływu na zbieżność.


Ad. 6) Szereg jest rozbieżny bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

Ad. 7) Wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{\tan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}\to1}\)zatem analogicznie jak w poprzednich dla \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{2}}\) (np.) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\tan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}>\frac{1}{2}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \frac{\sin^2\left(\frac{1}{n}\right)}{\tan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}}\)

[Watari]

Ok już rozumiem, jeszcze raz dzięki. A co do 6) to w odpowiedzi mam, że jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza, czyżby błąd?

[charlie85]

Ok już rozumiem, jeszcze raz dzięki. A co do 6) to w odpowiedzi mam, że jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza, czyżby błąd?

Albo błąd albo na inne zadanie patrzyłeś. Przecież gołym okiem widać że szereg jest rozbieżny;)
(kryt. Leibniza dotyczy szeregów naprzemiennych)

Pozdro!

[Watari]

Napisane jest dokładnie: "Zbieżny, jako przemienny i spełniający kryterium Leibniza". W którymś z zadań widziałem, że sinus zamienia się na (-1) do jakiejś potęgi, może tutaj też można? Jestem ciemny z trygonometrii więc nie wiem.

[charlie85]

Napisane jest dokładnie: "Zbieżny, jako przemienny i spełniający kryterium Leibniza". W którymś z zadań widziałem, że sinus zamienia się na (-1) do jakiejś potęgi, może tutaj też można? Jestem ciemny z trygonometrii więc nie wiem.

Chyba masz racje:
\(\displaystyle{ \sin\left(n+\frac{1}{n}\right)\pi=\sin(\pi n)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)+\cos(\pi n)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)=(-1)^n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\)

Zatem z kryterium Leibniza jest zbieżny:)

[Watari]

A skąd dokładnie to \(\displaystyle{ (-1)^n}\) się wzięło?

[charlie85]

A skąd dokładnie to \(\displaystyle{ (-1)^n}\) się wzięło?

\(\displaystyle{ \cos(\pi n)=(-1)^n}\)