granice ciągów

Suvi · Post autor: **Suvi** » 9 lis 2008, o 20:29

mat1989 pisze: ok no analizuje cały czas, ale skąd wiemy że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^5}}\) granica to 1?
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^n}}\)
z czegoś takiego to też będzie 1?

\(\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{n^5}=\lim (\sqrt[n]{n})^5=\lim (\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n})=1}\)
granica iloczynu to iloczyn granic... a wiadomo wszem i wobec, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt[n]{n}=1}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 10 lis 2008, o 15:19

ok, a co z 3? bo w 1 chyba trzeba skorzystać, ze wzoru skróconego mnożenia ale gdzieś się pogubiłem;/

Suvi · Post autor: **Suvi** » 10 lis 2008, o 15:35

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n+2]{3^n+4^{n+2}}=4}\)
bo:

\(\displaystyle{ \sqrt[n+2]{4^{n+2}} \leqslant \sqrt[n+2]{3^n+4^{n+2}} \leqslant \sqrt[n+2]{2\cdot4^{n+2}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n+2]{4^{n+2}}=4}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n+2]{2\cdot4^{n+2}}=4\cdot\sqrt[n+2]{2} \rightarrow 4}\)

Zordon · Post autor: **Zordon** » 10 lis 2008, o 15:38

mat1989 pisze: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^n}}\)
z czegoś takiego to też będzie 1?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^n}=n }\), czy nie ?

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 10 lis 2008, o 16:14

Suvi, a tam po prawej też piewiastek n+2 stopnia tak?:)

Suvi · Post autor: **Suvi** » 10 lis 2008, o 16:33

tak, tak poprawiłam już

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 10 lis 2008, o 17:09

ok, dzięki jakbyś jeszcze mogła powiedzieć co w tym pierwszym

Suvi · Post autor: **Suvi** » 10 lis 2008, o 17:42

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n^2-2n})=}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty }\frac{n+6\sqrt{n}+1-n^2+2n} {\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n^2-2n}}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\frac {-n^2+3n+6\sqrt{n}+1} {n(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{6\sqrt{n}}{n^2}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}})}=}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\frac {-n+3+\frac{6\sqrt{n}}{n}+\frac{1}{n}} {\sqrt{\frac{1}{n}+6\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}})}=}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\frac {-n+3+6\sqrt{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n}+6\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}})}=\frac{ -\infty }{1}= -\infty}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 12 lis 2008, o 23:48

a takie coś \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}}}\)
podzielić to co pod pierwiastkiem przez \(\displaystyle{ 5^n}\)?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 13 lis 2008, o 16:26

mat1989 pisze:a takie coś \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}}}\)
podzielić to co pod pierwiastkiem przez \(\displaystyle{ 5^n}\)?

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{\frac{3^n(1+\frac{2}{3}^n)}{5^n(1+\frac{4}{5}^n)}} =}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to\infty } \frac{3}{5}\sqrt[n]{\frac{1+\frac{2}{3}^n}{1+\frac{4}{5}^n}} =\frac{3}{5}}\)

Albo najlepiej z trzech ciągów policzyć granice licznika i mianownika osobno