Dowodzenie przez indukcje przy pomocy srednich

[nico89]

Witam, Mam prosbę o wytlumaczenie mi jednej rzeczy odnosnie 2 przykładowych dowodów:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} < \frac{1}{3n+1}+ \frac{1}{3n+2}+....+\frac{1}{5n}+\frac{1}{5n+1}< \frac{2}{3}}\)

I drugie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{3n+1}>1}\)

Te dwa dowody mozna zrobic za pomocą twierdzen na srednie. I tutaj moje pytanie. Jak przyjac liczbę wyrazów ciągu? Jak ja wywnioskowac? Proszę o jakies wskazówki.

Prosilbym rowniez o rozwiazanie.

[Jan Kraszewski]

I drugie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{3n+1}>1}\)

Zapomniałeś kropek, powinno być
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{3n+1}>1}\)

Te dwa dowody mozna zrobic za pomocą twierdzen na srednie. I tutaj moje pytanie. Jak przyjac liczbę wyrazów ciągu? Jak ja wywnioskowac? Proszę o jakies wskazówki.
Prosilbym rowniez o rozwiazanie.

Wyrazów jest \(\displaystyle{ (3n+1)-n=2n+1}\) (gdybyś zaczął sumować te odwrotności od 1, to byłoby ich 3n+1, ale odrzuciłeś pierwsze n). Skorzystaj z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną.
JK

[nico89]

Dziekuje bardzo za podpowiedz.
A jesli chodzi o pierwszy przyklad to bedzie:
\(\displaystyle{ 5n+1 - 3n=2n+1 wyrazów}\)

Dobrze rozumiem?
Rozumujac ze Poprzednim wyrazem 3n+1 jest wyraz 3n.

[Jan Kraszewski]

Dziekuje bardzo za podpowiedz.
A jesli chodzi o pierwszy przyklad to bedzie:
\(\displaystyle{ 5n+1 - 3n=2n+1}\) wyrazów

Dobrze rozumiem?

Tak.
JK