5 różności z liczb zespolonych

[helluin]

Ponownie uderzam w jakze miłym temacie liczb zespolonych. Tym razem związały mnie następujące (niezbyt trudne ale zawierające chyba pewien haczyk, którego nie jestem w stanie odnaleźć) zagadnienia:

1) \(\displaystyle{ \sqrt{7-24i}}\)

2) Rozwiązać w dziedzinie zespolonej:
\(\displaystyle{ x^{2}-6x+13=0}\)

3) Na płaszczyźnie:
\(\displaystyle{ E= \{ z \in C: \left|z+2-3i\right| = \left|z-2+i\right|\}}\)
wiem, iż rozwiązaniem jest prosta \(\displaystyle{ y=x+1}\) ale jak do tego dojść?
(wybaczcie kwadratowe nawiasy ale 'wąsali' tex nie wyświetla )

Wyświetla, wyświetla. Trzeba wiedzieć tylko jak to zapisać.
\{ \}
Szemek

4) Na płaszczyźnie:
\(\displaystyle{ arg(z^{3})=\pi}\)
\(\displaystyle{ arg(z+2)=\pi/6}\)
\(\displaystyle{ arg(zi)=\pi/4}\)



5) \(\displaystyle{ \frac{4^{12}}{(-\sqrt{3}-i)^{99}}}\)


Pozdrawiam

[faraus]

\(\displaystyle{ x ^{2} -6x + 13 = 0}\)


\(\displaystyle{ \alpha ^{2} = 36 - 4(13) = 36 - 52 = -16 = 16i ^{2} = (4i) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ } = 4i}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{6 - 4i}{2}}\) v \(\displaystyle{ x = \frac{6 + 4i}{2}}\)

[Szemek]

faraus, gwoli ścisłości \(\displaystyle{ -1=i^2=(-i)^2}\)
\(\displaystyle{ \Delta}\) Delta

1) \(\displaystyle{ \sqrt{7-24i}}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy \\
z^2=7-24i \\
x^2-y^2+2ixy=7-24i \\
\begin{cases} x^2-y^2=7 \\ 2ixy=-24i \end{cases} \\
\begin{cases} x^2-y^2=7 \\ xy=-12 \end{cases} \\
... \\
\begin{cases} x=3 \\ y=-4 \end{cases} \begin{cases} x=-3 \\ y=4 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z=3-4i z=-3+4i}\)

[ Dodano: 9 Listopada 2008, 00:56 ]

3) Na płaszczyźnie:
\(\displaystyle{ E= \{ z C: ft|z+2-3i\right| = ft|z-2+i\right|\}}\)
wiem, iż rozwiązaniem jest prosta \(\displaystyle{ y=x+1}\) ale jak do tego dojść?

\(\displaystyle{ |z+2-3i|=|z-2+i| \\
z=x+iy \\
|(x+2)+(y-3)i|=|(x-2)+(y+1)i| \\
\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2} \\
(x+2)^2+(y-3)^2=(x-2)^2+(y+1)^2 \\
x^2+4x+4+y^2-6y+9=x^2-4x+4+y^2+2y+1 \\
-8y=-8x-8 \\
y=x+1}\)

[ Dodano: 9 Listopada 2008, 01:01 ]

2) Rozwiązać w dziedzinie zespolonej:
\(\displaystyle{ x^{2}-6x+13=0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-6x+13=0 \\
(x-3)^2+4=0 \\
(x-3+2i)(x-3-2i)=0 \\
x=3-2i x=3+2i}\)

[ Dodano: 9 Listopada 2008, 01:35 ]

5) \(\displaystyle{ \frac{4^{12}}{(-\sqrt{3}-i)^{99}}}\)

mianownik:
\(\displaystyle{ z=-\sqrt{3}-i \\
|z|=2 \\
\begin{cases} \cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \varphi = -\frac{1}{2} \end{cases} \\
\varphi = \frac{7\pi}{6} \\
z^{99}=2^{99} (\cos \frac{99 7\pi}{6}+i\sin \frac{99 7\pi}{6}) = 2^{99}(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}) = -2^{99}i}\)
###
\(\displaystyle{ \frac{4^{12}}{(-\sqrt{3}-i)^{99}} = \frac{2^{24}}{-2^{99}i} = \frac{i}{2^{75}}}\)