Całki nieoznaczone

[Studentka1989]

Proszę o pomoc z całkami nieoznaczonymi:


1. \(\displaystyle{ \int \cos(lnx)dx}\)

2. \(\displaystyle{ \int \arctan xdx}\)

3. \(\displaystyle{ \int \frac{2x-1}{x-2}dx}\)

4. \(\displaystyle{ \int x^{10}\ln x dx}\)

[agulka1987]

1.
\(\displaystyle{ \int \cos(lnx) dx = ft[ f'=1 f=x; g=\cos(lnx) g' = - \frac{\sin(lnx)}{x}\right] = \ xcos(lnx) + t\sin(lnx) dx= ft[ f'=1; f=x; g=\sin(lnx) g'= \frac{\cos(lnx)}{x} \right] = x\cos(lnx)+x\sin(lnx)- t \cos(lnx) dx = \frac{1}{2}x(\cos(lnx)+\sin(lnx))+C}\)

obliczenia pomocnicze:
\(\displaystyle{ \int \cos(lnx) dx=x\cos(lnx)+x\sin(lnx)- t \cos(lnx) dx

2\int \cos(lnx) dx=x\cos(lnx)+x\sin(lnx)
\\
t \cos(lnx) dx= \frac{1}{2}x(\cos(lnx)+\sin(lnx))}\)

2.
\(\displaystyle{ \int arctgx dx = ft[f' = 1, f=x; // g=arctgx, g'= \frac{1}{1+x ^{2} } \right]=x arctgx- t \frac{x}{1+x^2}dx= ft[t=1+x^2; dt=2xdx; \frac{1}{2}dt=xdx \right] =x arctgx - \frac{1}{2} t \frac{1}{t}dt=x arctgx - \frac{1}{2}ln|t|+C=x arctgx - \frac{1}{2} ln(1+x^2)+C}\)

4.
\(\displaystyle{ \int x ^{10}lnx dx= ft[f'=x^10, f= \frac{1}{11}x^11; g=lnx, g'= \frac{1}{x} \right]= \frac{1}{11}x^{11}lnx- t \frac{1}{11}x^{11} * \frac{1}{x}dx= \frac{1}{11}x^{11}lnx- \frac{1}{11} t x^{10} dx= \frac{1}{11}x ^{11} lnx- \frac{1}{11}* \frac{1}{11}x ^{11}+C= \frac{1}{11}x ^{11}(lnx - \frac{1}{11})+C}\)

3.
\(\displaystyle{ \int \frac{2x-1}{x-2}dx=2 t \frac{x- \frac{1}{2} }{x-2} dx=2 t \frac{x- \frac{1}{2}- \frac{3}{2}+ \frac{3}{2} }{x-2} dx=2 t \frac{x-2}{x-2}dx+2 t \frac{ \frac{3}{2} }{x-2}dx=2 t 1dx+3 t \frac{1}{x-2}dx= ft[t=x-2, dt=dx \right]=2x+3 t \frac{1}{t}dt=2x+3ln(t)+C=2x+3ln(x-2)+C}\)

[Studentka1989]

dziekuje

[agulka1987]

z licznika wyrzucmy 2 przed całkę i otrzymujemy \(\displaystyle{ 2 t \frac{x- \frac{1}{2} }{x-2}dx}\) teraz do licznika musimy dopisać "coś" tak aby sprowadzić do postaci którą da się obliczyć i żeby nie zmieniło licznika więc do \(\displaystyle{ x- \frac{1}{2}}\)dopisujemy \(\displaystyle{ -\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}\) "-" i "+" zerują się więc nie wpływają teoretycznie na licznik a da sie policzyć całkę. Teraz dzielimy to na dwie całki \(\displaystyle{ 2 t \frac{x- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} }{x-2}}\) i \(\displaystyle{ 2 t \frac{ \frac{3}{2} }{x-2}}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ 2 t \frac{x- 2 }{x-2}dx + 2\int \frac{ \frac{3}{2} }{x-2}dx}\)

[Studentka1989]

a wiesz moze jak zrobic takie calki?

\(\displaystyle{ x^{3} e^{ x^{2} } dx

e^{x}cosxdx

\sqrt{x}(lnx)dx}\)

[M Ciesielski]

drugą z tych, które teraz podałaś 2 razy przez części, otrzymasz po prawej stronie tą samą całkę ze znakiem ujemny, przenosisz na lewą stronę i dzielisz stronami tak, by po prawej nie było liczby przed całką i już.

[agulka1987]

a wiesz moze jak zrobic takie calki?

\(\displaystyle{ x^{3} e^{ x^{2} } dx

e^{x}cosxdx

\sqrt{x}(lnx)dx}\)

bardzo proszę oto twoje całki

\(\displaystyle{ \int x^3e^x^2dx= t x^2*x*e^x^2dx=\left[\begin{array}{c}\\ t=x^2 \\ dt=2xdx \\ \frac{1}{2}dt=xdx\end{array}\right] = \frac{1}{2} t t*e^tdt=\left[\begin{array}{cc}\\ $f'=e^t; $g=t \\ $f=e^t; $g=1\end{array}\right]= \frac{1}{2}(t*e^t- t e^t dt = \frac{1}{2}(t*e^t-e^t)+C= \frac{1}{2}(x^2e^x^2-e^x^2)+C= \frac{1}{2}e^x^2(x^2-1)+C}\)

\(\displaystyle{ \int e^x cosx dx= ft[\begin{array}{cc}\\ $f'=e^x; $g=cosx \\ $f=e^x; $g'=-sinx\end{array}\right]= e^xcosx + t e^x sinx dx= ft[\begin{array}{cc}\\ $f'=e^x; $g=sinx \\ $f=e^x; $g=cosx\end{array}\right]=e^xcosx + e^xsinx- t e^xcosx dx= \frac{1}{2} e^x(cosx + sinx) +C}\)

obliczenia pomicnicze:
I - to jest twoja całka

\(\displaystyle{ I=e^xcosx + e^xsinx-I

2I=e^xcosx + e^xsinx

I= \frac{e^x(cosx + sinx)}{2}}\)


\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} (lnx) dx= t x ^{ \frac{1}{2} } (lnx) dx= ft[\begin{array}{c}\\ $f'=x ^{ \frac{1}{2} }; $g= lnx \\ $f= 2/3* x ^{ \frac{3}{2} }; $g= 1/x \end{array}\right] = \frac{2}{3} x ^{ \frac{3}{2} } lnx - \frac{2}{3} t x ^{ \frac{1}{2} }dx= \frac{2}{3} x ^{ \frac{3}{2} } lnx - \frac{2}{3} * \frac{2}{3} x ^{ \frac{3}{2} } +C = \frac{2}{3} x ^{ \frac{3}{2} }(lnx - \frac{2}{3})+C = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} (lnx- \frac{2}{3})+C}\)

proponuje odwiedzić te dwie strony jest tam dużo róznych całek wraz z rozwiązaniami. Sama u ubiegłym roku przez to przechodziłam i były bardzo pomocne.

[linki]

powodzenia