Ile jest podgrup grupy \(\displaystyle{ Z ^{*} _{429}}\)?
\(\displaystyle{ Z _{n} ^{*} = \{a Z _{n} a \perp n \}}\)
Liczba podgrup
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1862
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Liczba podgrup
\(\displaystyle{ 429=3\cdot 11\cdot 13}\)
stad
\(\displaystyle{ \varphi(429)=\varphi(3)\cdot\varphi(11)\cdot\varphi(13)=2\cdot 10\cdot 12=240=2^4\cdot 3\cdot 5}\)
Zatem
\(\displaystyle{ Z_{429}^*\simeq Z_2^4\times Z_3\times Z_5}\)
Podgrupy tej grupy sa postaci:
\(\displaystyle{ Z_2^i\times Z_3^j\times Z_5^k}\)
dla \(\displaystyle{ i=0,1,2,3, j=0,1, k= 0,1}\) co daje ogolem \(\displaystyle{ 4\cdot 2\cdot 2=16}\) podgrup.
stad
\(\displaystyle{ \varphi(429)=\varphi(3)\cdot\varphi(11)\cdot\varphi(13)=2\cdot 10\cdot 12=240=2^4\cdot 3\cdot 5}\)
Zatem
\(\displaystyle{ Z_{429}^*\simeq Z_2^4\times Z_3\times Z_5}\)
Podgrupy tej grupy sa postaci:
\(\displaystyle{ Z_2^i\times Z_3^j\times Z_5^k}\)
dla \(\displaystyle{ i=0,1,2,3, j=0,1, k= 0,1}\) co daje ogolem \(\displaystyle{ 4\cdot 2\cdot 2=16}\) podgrup.
-
klementa
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 2 gru 2007, o 15:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 11 razy
Liczba podgrup
Mam jeszcze jedno pytanie to \(\displaystyle{ i}\) nie powinno być dla \(\displaystyle{ i=0,1,2,3,4}\) ?
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1862
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Liczba podgrup
Poprawiam, pomieszalo mi sie z liczba dzielnikow... nie ma lekko:
Kazda podgrupa grupy \(\displaystyle{ Z_2^4\times Z_3\times Z_5}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ I\times J\times K}\),
gdzie
\(\displaystyle{ I Z_2^4, J Z_3, K Z_5}\)
sa podgrupami.
Stad:
\(\displaystyle{ J=\{e\}}\) lub \(\displaystyle{ J=Z_3}\)
\(\displaystyle{ K=\{e\}}\) lub \(\displaystyle{ K=Z_5}\)
czyli sa po dwie mozliwosci na \(\displaystyle{ J,K}\).
Teraz podgrupy w \(\displaystyle{ Z_2^4}\)... Nie znam triku, musze wymyslic jakos na piechote.
Grupa \(\displaystyle{ Z_2^4}\) ma ogolem
\(\displaystyle{ 1}\) podgrupe rzedu 1
\(\displaystyle{ 15}\) podgrup rzedu 2
\(\displaystyle{ \frac{\binom{15}{2}}{3}=21}\) podgrup rzedu 4 (kazda mozna otrzymac na 3 sposoby z par elementow)
\(\displaystyle{ \frac{21\cdot 12}{3\cdot\binom{7}{2}}=4}\) podgrup rzedu 8 (Wybieramy podgrupe 4 elementowa, do niej dokladamy 1 element na 12 sposobow, kazda grupe otrzymamy na \(\displaystyle{ 3\cdot \binom{7}{2}}\) sposoby.)
\(\displaystyle{ 1}\) podgrupa rzedu 16.
Wyszlo 42
(Pewnie jakos szybko to wynika z wygladu \(\displaystyle{ \mathrm{GL}(*,\mathbb{F}_2))}\), ale jakos nie przychodzi mi do glowy jak).
Zatem, o ile te rachunki sa OK, odpowiedzia jest liczba \(\displaystyle{ 2\cdot 2\cdot 42=168}\).
Kazda podgrupa grupy \(\displaystyle{ Z_2^4\times Z_3\times Z_5}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ I\times J\times K}\),
gdzie
\(\displaystyle{ I Z_2^4, J Z_3, K Z_5}\)
sa podgrupami.
Stad:
\(\displaystyle{ J=\{e\}}\) lub \(\displaystyle{ J=Z_3}\)
\(\displaystyle{ K=\{e\}}\) lub \(\displaystyle{ K=Z_5}\)
czyli sa po dwie mozliwosci na \(\displaystyle{ J,K}\).
Teraz podgrupy w \(\displaystyle{ Z_2^4}\)... Nie znam triku, musze wymyslic jakos na piechote.
Grupa \(\displaystyle{ Z_2^4}\) ma ogolem
\(\displaystyle{ 1}\) podgrupe rzedu 1
\(\displaystyle{ 15}\) podgrup rzedu 2
\(\displaystyle{ \frac{\binom{15}{2}}{3}=21}\) podgrup rzedu 4 (kazda mozna otrzymac na 3 sposoby z par elementow)
\(\displaystyle{ \frac{21\cdot 12}{3\cdot\binom{7}{2}}=4}\) podgrup rzedu 8 (Wybieramy podgrupe 4 elementowa, do niej dokladamy 1 element na 12 sposobow, kazda grupe otrzymamy na \(\displaystyle{ 3\cdot \binom{7}{2}}\) sposoby.)
\(\displaystyle{ 1}\) podgrupa rzedu 16.
Wyszlo 42
(Pewnie jakos szybko to wynika z wygladu \(\displaystyle{ \mathrm{GL}(*,\mathbb{F}_2))}\), ale jakos nie przychodzi mi do glowy jak).
Zatem, o ile te rachunki sa OK, odpowiedzia jest liczba \(\displaystyle{ 2\cdot 2\cdot 42=168}\).