Problem z uogólnieniej przestrzeni unormowanej

[BraveMaind]

Mam pewien problem dotyczący definicji przestrzeni unormowanej. Konkretnie z przypadkiem gdy jako ciało w przestrzeni wektorowej w której rozważamy normę wezmę dowolne ciało, niekoniecznie zbiór liczb rzeczywistych czy zespolonych. Poszukiwałem informacji w internecie ale natknąłem się jedynie na zawężenia definicji do tych klasycznych ciał. Jak zdefiniować ogólnie przestrzeń unormowaną ? Chodzi mi właściwie tylko o warunek \(\displaystyle{ || x||=| | ||x||}\). Co oznacza ten moduł w dowolnym ciele? Najlogiczniejsze wydaje się że w takich przypadkach musi być też rozpatrywana druga norma-dla ciała, ale nie spotkałem się z czymś takim .

[Emiel Regis]

Także się nie spotkałem jednak gdybym miał uogólnić to szedłbym w tą stronę co Ty. Moduł to jest po prostu norma euklidesowa w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), ją preferujemy bo ladnie kula w niej wygląda jednak nie widzę żadnego powodu matematycznego, żeby tworząc przestrzeń liniową nie brać ciała (nawet któregoś z tych standardowych) z inną normą.

No ale może ktoś się spotkał to się dowiemy dokładnie.
A do czegoś konkretnego jest Ci to potrzebne czy tak hobbistycznie się zastanawiasz?

[xiikzodz]

Dla cial skonczowych mozna rozwazac "norme zero":

Dla \(\displaystyle{ (x_1,...,x_n)\in\mathbb{F}_p^n}\).

\(\displaystyle{ \|(x_1,...,x_n)\|_0}\) jest rowna licbie niezerowych wspolrzednych. Oczywiscie wowczas \(\displaystyle{ |\alpha| = 1}\) gdy \(\displaystyle{ \alpha 0}\). Tego typu idee uzywa sie do porownywania slow np. do porownyania DNA.

[BraveMaind]

Tego typu teoria jest mi potrzebna do uogólnienia rozwiązania pewnego zadania na ogół przypadków przestrzeni unormowanych , bo właśnie w pewnym miejscu mojego dowodu zachodzi potrzeba konstrukcji wektorów o pewnej długości co łatwo osiągnąć właśnie tym aksjomatem normy z wyrzucaniem skalaru przed normę. No i właśnie problem z tymi niestandardowymi ciałami..

[xiikzodz]

Napisz moze nieco dokladniej, o co ci chodzi. Jest jeszcze kilka opcji. Np. norma w ciele liczbowym (w skonczonym rozszerzeniu algebraicznym \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)) sa tez algebry normowane etc. Istnieja tez raczej zaawansowane twierdzenia, dla jakich cial/algebr z dzieleniem daje sie wykonywac tego typu konstrukcje.

[BraveMaind]

Dobrze , to opiszę dokładniej problem. Chodzi o zadanie: "Wykazać , że w każdej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej istnieje podzbiór gęsty złożony z wektorów liniowo niezależnych". Męczę się z tym zadaniem ostatnio i wreszcie udało mi się udowodnić ale właśnie tylko dla ciała rzeczywistego (zespolonego). W dowodzie stosuję ponieważ taki pomocniczy lemat (mam nadzieje że ogólnie poprawny, ale własnie aby się przekonać potrzebuje ogólniejszej definicji):
Z:X- przestrzeń unormowana, nieskończenie wymiarowa, \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_n X}\)
T: Dla każdego m naturalnego istnieje \(\displaystyle{ x_{n+1}}\) liniowo niezależny z \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_n X}\) taki że \(\displaystyle{ ||x_{n+1}||= \frac{1}{m}}\)

D-d: Biorę więc dowolny zestaw n-elementowy wektórów \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_n X,X}\) jest niesk. wymiarowa, a więc istnieje x taki, że \(\displaystyle{ x X-lin\{x_1, x_2, ..., x_n\}}\) \(\displaystyle{ ||x||=a}\) , weźmy teraz \(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x}{a m}}\) . Wtedy \(\displaystyle{ ||x_{n+1}||=|| \frac{x}{a m}||= \frac{1}{a m} ||x||= \frac{1}{m}}\).

No i idzie ten lemat ale właśnie tylko dzięki skorzystaniu z tego wyłączania skalaru w module przed normę. W przypadku ogólnym naprawdę nie wiem czy da się to udowodnić , no ale żeby się przekonać potrzebuje wystartować od definicji ogólniejszej. Hmm albo uratuję jakoś te luki albo będę musiał poszukać innego dowodu zadania. Myślę więc xiikzodz że nie jest to kwestia wyboru jakiegoś ciała, jakiejś konkretnej normy , tylko ogólna definicja

[xiikzodz]

Przeciez wylaczanie skalaru jest aksjomatem przestrzeni z norma. To znaczy zachodzi:

\(\displaystyle{ \|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|}\),

gdzie

\(\displaystyle{ |\cdot|:K\rightarrow\mathbb{R}_+}\)

jest norma w ciele \(\displaystyle{ K}\).

A w tym zadaniu chodzi o "gesty", czy "liniowo gesty"?