Udowodnij podzielność sumy potęg

[Niamh]

Udowodnij, że liczba
\(\displaystyle{ 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ... + 2^{100}}\) jest podzielna przez 3.

Jakby było mniej tych liczb, to może i bym rozwiązała... Prosiłabym o odpowiedzi bardzo rozszerzone, żebym zrozumiała, i w miarę możliwości żeby było jak najbardziej rozpisane, żeby można było szybko zrozumieć.

[ogre]

Możesz połączyć sobie potęgi w pary, czyli 2 i 2^2, 2^3 i 2^4, 2^5 i 2^6, 2^n i 2^n+1 ... I sprawdzić, że każda para dzieli się przez 3.

[Rafador]

Suma parzystej liczby składników tej liczby jest podzielna przez 3.

Każda liczba w ciągu jest parzysta, a kolejna jest 2 razy większa. Można to zapisać w ten sposób:

\(\displaystyle{ 2n+4n+8n+16n=30n=3(10n)}\)