Rachunek kwantyfikatorow

[MuFaBartek]

Prosze o pomoc w rozwiazaniu zadania:

Niech \(\displaystyle{ \phi}\) oznacza formule rachunku kwantyfikatorow zawierajaca byc moze wolne wystpaienia zmiennych x i y. Sprawdz czy dana formula jest prawem rachunku kwantyfikatorow.

\(\displaystyle{ ( \forall x \exists y \phi ) (\exists y \forall x \phi)}\)

Za pomoc i ogólne wytlumaczenie, bardzo dziekuje

[Qń]

Niech \(\displaystyle{ \phi (x,y)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ y}\) jest matką \(\displaystyle{ x}\) (rozpatrujemy tę formułę na zbiorze całej ludzkości). Wtedy poprzednik jest prawdziwy, bo każdy* ma (lub miał) matkę, natomiast następnik fałszywy, bo nie istnieje osoba, która jest matką wszystkich. Nie jest to więc prawo rachunku kwantyfikatorów.

Qń.

*) no, może z wyjątkiem Adama i Ewy ;>

[MuFaBartek]

Mam jeszcze jedno pytanie:

takze czy jest to prawo rachunku.

\(\displaystyle{ (\exist x (\phi \psi) ((\exist x \phi)\rightarrow (\exist x \psi))}\)

[ Dodano: 28 Października 2008, 23:11 ]
Mam jeszcze jedno pytanie:

takze czy jest to prawo rachunku.

\(\displaystyle{ (\exists x (\phi \psi)) ((\exists x \phi)\Rightarrow (\exists x \psi))}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ (\exists x (\phi \psi)) ((\exists x \phi)\Rightarrow (\exists x \psi))}\)

Nie jest to prawo rachunku, tym razem kontrprzykład jest taki:
-\(\displaystyle{ \phi (x)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) jest kobietą
-\(\displaystyle{ \psi (x)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) ma osiemnaście nóg.

Wtedy \(\displaystyle{ \exists x (\phi \psi )}\) jest prawdą, bo na przykład ja jestem rzeczonym istniejącym iksem, natomiast \(\displaystyle{ (\exists x \phi)\Rightarrow (\exists x \psi)}\) nie jest prawdą, bo poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Tak więc w głównej implikacji z prawdy wynika fałsz, jest więc ona fałszywa.

Qń.

[MuFaBartek]

a czym sie rozni ten zapis:

\(\displaystyle{ \exists x(\phi \psi)}\)

od tego:

\(\displaystyle{ (\exists x \phi \exists x \psi)}\)

[Jan Kraszewski]

a czym sie rozni ten zapis:

\(\displaystyle{ \exists x(\phi \psi)}\)
od tego:
\(\displaystyle{ (\exists x \phi \exists x \psi)}\)

Zasięgiem działania kwantyfikatorów. W zapisie
\(\displaystyle{ \exists x(\phi \psi)}\)
kwantyfikator \(\displaystyle{ \exists x}\) kwantyfikuje wszystkie wystąpienia zmiennej \(\displaystyle{ x}\) w formule \(\displaystyle{ \phi \psi}\). Natomiast w zapisie
\(\displaystyle{ (\exists x \phi \exists x \psi)}\)
oba kwantyfikatory "dotyczą" tylko formuł, które stoją bezpośrednio przy nich, czyli odpowiednio \(\displaystyle{ \phi}\) (pierwszy kwantyfikator) i \(\displaystyle{ \psi}\) (drugi kwantyfikator). Drugi zapis w formie nieco przesadzonej mógłby wyglądać tak:
\(\displaystyle{ ((\exists x \phi) (\exists x \psi))}\).
JK