równanie do rozwiązania

[stomasz]

mam problem z tym równaniem, przyznam szczerze, że nie mam pojęcia jak je rozwiązać ;(

\(\displaystyle{ log _{(x+6)} (2- \sqrt{x+6} )= \frac{1}{2}}\)

czy ktoś z Was mógłby mi to rozwiązać?

[mzab_89]

przedstaw prawą strone w postaci logarytmu o podstawie x+6

[stomasz]

yyy ;/ ale jak ?

[outsider707]

\(\displaystyle{ log _{(x+6)} (2- \sqrt{x+6} )= \frac{1}{2}}\)
Z definicji logarytmu: \(\displaystyle{ log _{a} {b} = c \Rightarrow a^{c}=b}\)
Więc:
\(\displaystyle{ (x+6)^{ \frac{1}{2}}=2- \sqrt{x+6}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x+6} = 2- \sqrt{x+6}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x+6} = t >0}\)
\(\displaystyle{ t=2-t 2t=2 t=1 \sqrt{x+6}=1 | ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x+6 = 1 x=-5}\)

Niby powinno być tak, ale kiedy obliczymy dziedzinę to okaże się, że -5 do niej nie należy.

[stomasz]

dziękuje

[Geniusz]

Według mnie -5 należy do dziedziny. Dla mnie dziedzina wynosi \(\displaystyle{ x (-6,-2)}\)
Poprawcie mnie jeśli się mylę.

[QuusAmo]

@Geniusz
Podstawa logarytmu z założenia nie może być równa 1.
Zatem \(\displaystyle{ x+6 \not = 1 x \not = -5}\)

[outsider707]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+6 >0 \\ x+6 \neq 1 \\ 2- \sqrt{x+6} >0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x>-6 \\ x -5 \\ x (-6,-2) -(-5)}\) gdzie ja zrobiłem błąd?

[Geniusz]

No tak rzeczywiście