Szeregi potęgowe

[Vlad]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu kilku zadań.

1) Oblicz promień zbieżności poniższych szeregów potęgowych:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{{n}^{2}}}{2^n}}\);
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} ( 1 + \frac{1}{n})^{{n}^{2}} x^n}\).

2) Rozwiń w szereg Taylora wokół punktu \(\displaystyle{ x_0}\) funkcję \(\displaystyle{ f}\):
a) \(\displaystyle{ f(x) := \frac{1}{\sqrt{x}}, \ x_0 = 1}\);
b) \(\displaystyle{ f(x) := xe^{x}, \ x_0 = 0}\).

3) Wyznacz obszar zbieżności punktowej szeregu funkcyjnego a następnie oblicz jego sumę:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} n(n+1)x^n}\);
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}}\).

4) Funkcja \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x) := \ln(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)}\).
Oblicz \(\displaystyle{ f^{(2004)} (0)}\).

5) Rozwiń w szereg Taylora wokół zera funkcję
\(\displaystyle{ f(x) := t \frac{e^x - 1}{x} dx}\)
i podaj obszar zbieżności.

Z góry dziękuję.

[Vigl]

ad 1).
a) Zwyczajny d'Alembert: \(\displaystyle{ \frac{1}{R}=lim\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}}=...}\) (promień dla szeregu \(\displaystyle{ \sum \frac{y^n}{2^n}; y=x^2}\))
b) Znowu z d'Alemberta (pamiętaj, że wystarczy rozpatrzyć jedynie ciąg liczbowy: \(\displaystyle{ a_n=(1+\frac{1}{n})^n^2}\))

Reszta później, jeżeli nikt nie napisze. Na razie nie mam czasu.

[Tala]

Jak b) z pierwszego zadania można obliczyć d'Alambertem?

[Vigl]

Można:
\(\displaystyle{ lim_{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=lim_{\infty}{\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)^2}}{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}=(\frac{e}{e})^2=1}\) \(\displaystyle{ e}\). (Możesz jeszcze się w tym utwierdzić, robiąc to Cauchy'm; widać od razu zbieżność \(\displaystyle{ a_n^{\frac{1}{n}}}\) do \(\displaystyle{ 1}\)).

Dorzucam 2b:
Różniczkując \(\displaystyle{ f(x)=xe^x}\) szybko można dojśc do zależności iż: \(\displaystyle{ f^{(n)}(x)=xe^x+ne^x,}\) toteż:
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}x^n}\) dla \(\displaystyle{ (x_0=0)}\)

[Wasilewski]

Vigl, przecież to zbiega do e:
\(\displaystyle{ \frac{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n^2}}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}} \cdot \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{2n+1} \rightarrow e^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n^2} \rightarrow e^{2} \cdot e^{-1} = e}\)
A z Cauchy'ego to widać jeszcze lepiej:
\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e}\)

[Vigl]

Vigl, przecież to zbiega do e

A tak, wiedziałem, że mi coś nie pasuje. Sorry, pijany jeszcze jestem.

[Tala]

Ile wynosi promień w zadaniu 1 a) ? Bo granica wynosi chyba 1/2.

[Vigl]

Nie wyraźnie napisałem, że promień to odwrotność tej granicy?

[Tala]

No tak rzeczywiście napisałeś, chyba ślepa jestem

[ Dodano: 26 Października 2008, 15:12 ]
Jak należy zrobić trzecie zadanie?

[lewis]

nie jestem pewien, czy aby na pewno dobrze robię zadanie 3, mógłby ktoś w miarę możliwości to sprawdzić?

przykład (a) może bym zrobił:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n}\)

obszarem zbieżności będzie przedział \(\displaystyle{ (-1,1)}\), jeśli tylko dobrze rozumuję. Pozostaje zatem policzenie sumy i to tutaj zaczynają się małe schodki .

liczę to tak, że wychodzę od szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} = \frac{x^2}{1-x}}\)

i dalej lecę tym oto sposobem:

\(\displaystyle{ (\sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1})'' = (\frac{x^2}{1-x})''}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1} + x^n = (\frac{2x(1-x) + x^2}{(1-x)^2})' = \frac{(2-2x)(1-x)^2 + (2-2x)(2x-x^2)}{(1-x)^4}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{(2-2x)(1-x)^2 + (2-2x)(2x-x^2)}{(1-x)^4}}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1} = \frac{(2-2x)(1-x)^2 + (2-2x)(2x-x^2)}{(1-x)^4} - \sum_{n=1}^{\infty} x^n}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1} = \frac{(2-2x)(1-x)^2 + (2-2x)(2x-x^2)}{(1-x)^4} - \frac{x}{1-x} | *x}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n} = \frac{x[(2-2x)(1-x)^2 + (2-2x)(2x-x^2)]}{(1-x)^4} - \frac{x^2}{1-x}}\)

nie chodzi mi nawet za bardzo o obliczenia, w których mogłem się pomylić z 10x pewnie . Bardziej chodzi mi o to, czy to rozwiązanie tak powinno wyglądać

[dziadek_18]

ma ktoś może pomysł na wykonanie zadania 4 lub 5??