Oblicz granice

[matekleliczek]

Mam problem z 2 granicami

Korzystając z tw. o trzech ciągach oblicz

\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+...+n^{10}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt[n]{n^2+sinn}}\)

[lukasz1804]

Mamy dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\): \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^{10}}\leq\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+...+n^{10}}\leq\sqrt[n]{n\cdot n^{10}}=\sqrt[n]{n^{11}}}\), więc
\(\displaystyle{ 1^{10}\leq\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+\ldots+n^{10}}\leq1^{11}}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+\ldots+n^{10}}=1}\).

Mamy dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\): \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^2}\leq\sqrt[n]{n^2+\sin n}\leq\sqrt[n]{n^2+1}\leq\sqrt[n]{n^2+n^2}=\sqrt[n]{2n^2}=\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{n^2}}\), więc \(\displaystyle{ 1^2\leq\lim_{n \to }\sqrt[n]{n^2+\sin n}\leq 1\cdot 1^2}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+\sin n}=1}\).

[matekleliczek]

wielkie dzięki a ja myślałem, że \(\displaystyle{ \sqrt[\infty]{\infty}}\) jest nie oznaczony

[Lorek]

wielkie dzięki a ja myślałem, że sqrt[infty]{infty} jest nie oznaczony

Bo jest, no i co z tego? \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) też jest nieoznaczony, a \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\) policzysz.