Mam problem z 2 granicami
Korzystając z tw. o trzech ciągach oblicz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+...+n^{10}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt[n]{n^2+sinn}}\)
Oblicz granice
- matekleliczek
- Użytkownik
- Posty: 252
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Oblicz granice
Mamy dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\): \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^{10}}\leq\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+...+n^{10}}\leq\sqrt[n]{n\cdot n^{10}}=\sqrt[n]{n^{11}}}\), więc
\(\displaystyle{ 1^{10}\leq\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+\ldots+n^{10}}\leq1^{11}}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+\ldots+n^{10}}=1}\).
Mamy dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\): \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^2}\leq\sqrt[n]{n^2+\sin n}\leq\sqrt[n]{n^2+1}\leq\sqrt[n]{n^2+n^2}=\sqrt[n]{2n^2}=\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{n^2}}\), więc \(\displaystyle{ 1^2\leq\lim_{n \to }\sqrt[n]{n^2+\sin n}\leq 1\cdot 1^2}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+\sin n}=1}\).
\(\displaystyle{ 1^{10}\leq\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+\ldots+n^{10}}\leq1^{11}}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+\ldots+n^{10}}=1}\).
Mamy dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\): \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n^2}\leq\sqrt[n]{n^2+\sin n}\leq\sqrt[n]{n^2+1}\leq\sqrt[n]{n^2+n^2}=\sqrt[n]{2n^2}=\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{n^2}}\), więc \(\displaystyle{ 1^2\leq\lim_{n \to }\sqrt[n]{n^2+\sin n}\leq 1\cdot 1^2}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2+\sin n}=1}\).
- matekleliczek
- Użytkownik
- Posty: 252
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 17 razy
Oblicz granice
wielkie dzięki a ja myślałem, że \(\displaystyle{ \sqrt[\infty]{\infty}}\) jest nie oznaczony
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7153
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1324 razy
Oblicz granice
Bo jest, no i co z tego? \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) też jest nieoznaczony, a \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\) policzysz.matekleliczek pisze:wielkie dzięki a ja myślałem, że sqrt[infty]{infty} jest nie oznaczony