Wykaż, że dla każdej pary (a,b) liczb rzeczywistych nieujemnych i dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ (a\,+\,b)^{n} \,\leq\, 2^{n-1}\, (a^{n}\,+\,b^{n})}\)
Wskazówka z odpowiedzi:
Udowodnij najpierw nierówność:
\(\displaystyle{ a^{k+1}\,+\,b^{k+1}\,\geq\,a^{k}b\,+\,ab^{k}}\)
Mi niestety niewiele pomogła ale może komuś sie przyda
wykaż, że: (a+b)^n <= 2^(n-1) (a^n + b^n)
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1627
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
wykaż, że: (a+b)^n <= 2^(n-1) (a^n + b^n)
Rozwiązanie indukcyjne:
Nie zmniejszając ogólności zadania zakładam, że \(\displaystyle{ a\geq b}\)
I i III krok nie powinien sprawić problemów.
II krok.
Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ k\in N}\).
Założenia:
\(\displaystyle{ (a+b)^n\leq 2^{n-1}(a^n+b^n)}\)
Teza:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n+1}\leq 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n+1}=(a+b)^n(a+b)\leq 2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)=2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}) + 2^{n-1}(a^nb+ab^n)}\)
Wystarczy dowieść, że
\(\displaystyle{ 2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}) + 2^{n-1}(a^nb+ab^n)\leq 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})}\)
Czyli to co jest w wskazówce:
\(\displaystyle{ a^{n+1}+b^{n+1}\geq a^nb+ab^n}\)
\(\displaystyle{ (a^n-b^n)(a-b)\geq 0}\)
C.N.D.
Nie zmniejszając ogólności zadania zakładam, że \(\displaystyle{ a\geq b}\)
I i III krok nie powinien sprawić problemów.
II krok.
Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ k\in N}\).
Założenia:
\(\displaystyle{ (a+b)^n\leq 2^{n-1}(a^n+b^n)}\)
Teza:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n+1}\leq 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n+1}=(a+b)^n(a+b)\leq 2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)=2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}) + 2^{n-1}(a^nb+ab^n)}\)
Wystarczy dowieść, że
\(\displaystyle{ 2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}) + 2^{n-1}(a^nb+ab^n)\leq 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})}\)
Czyli to co jest w wskazówce:
\(\displaystyle{ a^{n+1}+b^{n+1}\geq a^nb+ab^n}\)
\(\displaystyle{ (a^n-b^n)(a-b)\geq 0}\)
C.N.D.