Przykład rodziny zbiorów otwartych

[przem_as]

Zna ktoś przykład rodziny zbiorów otwartych, których przekrój nie jest zbiorem otwartym?

Najpierw myślałem o tym, żeby wykorzystać to, że cała przestrzeń jest zarówno zbiorem otwartym jak i domkniętym ale to chyba nie będzie najlepszy przykład.



Przepraszam, ale oczywiście chodziło mi o przekrój zbiorów otwartych.

[xiikzodz]

Nie istnieje taki przyklad. Definicja zbioru otwartego wprost to wyklucza:
Zdanie

Suma dowolnej rodziny zbiorow otwartych jest zbiorem otwartym

Jest aksjomatem.

[przem_as]

Poprawiłem już treść pytania, proszę o jakieś wskazówki.

[xiikzodz]

W takim razie nie ma problemu.

Niech

\(\displaystyle{ A_n=\left(-\frac 1n,\frac 1n\right) \mathbb{R}}\).
sa to oczywiscie otwarte podzbiory \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), przedzialy otwarte.

Dla kazdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) mamy

\(\displaystyle{ 0\in A_n}\)

Zatem

\(\displaystyle{ 0\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n}\).

Ponadto dla kazdego \(\displaystyle{ \delta 0}\) istnieje \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}}\) takie ze \(\displaystyle{ \frac 1m A_m}\) skad rowniez \(\displaystyle{ \delta \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n}\).

Zatem

\(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n=\{0\}}\).

Ten ostatni zbior nie zawiera zadnej kuli i jest niepusty, zatem nie jest otwarty.

[przem_as]

Hmm czy w dwóch ostatnich wersach nie powinno być iloczynu zamiast sumy?

[xiikzodz]

Jasne, chodzi o iloczyn.

[przem_as]

Dziękuję Ci bardzo