Iloczyn liczb pierwszych

[emator1]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k > 3}\), liczba postaci \(\displaystyle{ k^3 + 3k^2 - 4k -12}\) jest iloczynem, co najmniej czterech liczb pierwszych.

Dochodzę do przekształcenia \(\displaystyle{ (k-2)(k+2)(k+3)}\). Rozpatrujemy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1 ^{o}}\) : dla \(\displaystyle{ k}\) będącej liczbą parzystą, \(\displaystyle{ k=2a}\). Z powyższego wyrażenia otrzymuję \(\displaystyle{ (2a-2)(2a+2)(2a+3)=2(a-1) 2(a+1)(2a+3)}\) Każdy czynnik z tego wyrażenia musi być iloczynem co najmniej 1 liczby pierwszej. Stąd całe wyrażenie jest iloczynem przynajmniej 5 liczb pierwszych.
\(\displaystyle{ 2 ^{o}}\) : dla dla k nieparzystego: \(\displaystyle{ k=2a+1}\) , \(\displaystyle{ (2a-1)(2a+3)(2a + 4)=2(2a-1)(2a+3)(a+2)}\)
Każdy czynnik z tego wyrażenia musi być iloczynem co najmniej 1 liczby pierwszej. Dlatego całe wyrażenie jest iloczynem przynajmniej 4 liczb pierwszych c.n.d.

Czy to rozumowanie jest poprawne? Proszę o sprawdzenie.

[Sylwek]

Było kolego, było wczoraj... tak trudno używać opcji szukaj?!

https://matematyka.pl/87162.htm

btw. rozumowanie dobre

[emator1]

Sorry, na przyszłość zawsze najpierw poszukam.

Btw. to dziwne, bo ja robiłem dwa kolejne zadania z powyższego tematu wczoraj wieczorem, a nawet nie zaglądałem na forum. Ktoś mnie chyba śledzi.