[MIX] Zadania przygotowawcze do Konkursu Podkarpackiego

[Nycze]

1. Mamy pięć odcinków o tej własności, że z każdych trzech można zbudować trójkąt. Wykazać, że można wybrać trzy takie odcinki, z których można zbudować trójką ostrokątny.

2. Kwadrat podzielono na 25 małych kwadracików i w każdy wpisano jedną z trzech liczb: -1,0,1. Potem obliczono sumę w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na przekątnych. Pokazać, że co najmniej dwie sumy są jednakowe.

3. Kwadrat o przekątnej d pocięto na n prostokątów o przekątnych \(\displaystyle{ d_1, d_2,...,d_n}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ d_1^{2}+d_2^{2}+...+d_n^{2} \geq d^{2}}\)

4. Na stole leżą 2003 monety orłami do góry. Czy przewracając jednocześnie dwie monety "do góry nogami" możemy uzyskać sytuację, że na stole wszystkie monety będą leżały reszkami do góry.

5. Z danego trójkąta odcięto trzy trójkąty, prowadząc styczne do okręgu wpisanego równolegle do boków trójkąta. Niech \(\displaystyle{ r_1, r_2, r_3}\) oznaczają promienie okręgów wpisanych w odcięte trójkąty. Wykaż, że \(\displaystyle{ r_1+r_2+r_3=r}\), gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w wyjściowy trójkąt.

[dem]

Zapoznaj się z zasadami Tex'a.....ten post poprawiłem...


BTW chyba już za późno na te zadania:) jutro wielki dzień:P

[Undre]

zad 4 widze tak ... zamiast 2003 rozważę te 3 ostatnie bo reszte obrócisz bezpośrednio, oznaczając : orzeł - O reszka - R masz :

na początku trzy orły O O O
możesz wykonać różne manewry tak żeby uzyskać ROR ORR RRO
potem obracając reszke i orła ( tak żeby nie wrócić do poprzedniej ) z jednej z trzech powyższych kombinacji zawsze dostaniesz którąś z dwóch pozostałych zatem moim zdaniem się nie da ( mogę się wszak mylić bo Bogiem nie jestem )

[misial]

zatem moim zdaniem się nie da

masz racje:P
z 2003 orlow mozna zmienic stan parzystej liczby monet, jesli zmienisz 2000 to zostanie 3 i dowod jak napisales, a jesli zmienimy parzysta liczbe orlow i chcemy zmienic orla na reszke i reszke na orla to nic nie zzmieniamy, a jesli 2 reszki na 2 orly to wracamy do stanu poprzedniego:P

[_el_doopa]

nie zmienia sie parzystosc liczby reszek na stole - koniec dowodu

P.S. za rozwiazania w stylu: lepiej mi bedzie najpierw odwracac 3 monety a potem 2000 dałbym 0 pkt

[Zlodiej]

5. https://www.matematyka.pl/viewtopic.php? ... ght=#15093

[Skrzypu]

W zadaniu drugim możesz otrzymać 11 różnych wyników, będą to liczby całkowite z przedziału , a wyników otrzymasz 12 więc przynajmniej jeden się musi powtórzyć.

zad.3
Wzór na pole prostokąta to \(\displaystyle{ S={d^2 \sin \alpha \over 2}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między przekątnymi.

Dzielimy ten kwadrat na \(\displaystyle{ n}\) prostokątów.

Zachodzi:

\(\displaystyle{ {d^2 \over 2}=\sum_{i=1}^{n} {d_i^2 \sin \alpha_i \over 2} \geq \sum_{i=1}^{n} {d_i^2 \over 2}}\)

Wymnóż przez 2 i otrzymasz tezę

[MichalM]

1. Niech odcinki będą miały długości

\(\displaystyle{ e q d q c q b q a}\)

Załóżmy nie wprost, że każda trójka tworzy trójkąt rozwartokątny. Zatem:

\(\displaystyle{ a^2+b^2 < c^2}\)

kożystając z nierówności pomiędzdy średnią kwadratową a arytmetyczną dostajemy

\(\displaystyle{ a+b q 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} < \sqrt{2} c}\)

Analogicznie

\(\displaystyle{ 2c^2 q c^2+d^2 < e^2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2} c < e}\)

Stąd już

\(\displaystyle{ a+b < e}\)

Co przeczy temu, że z każdej trójki można zbudować trójkąt.

[Ptolemeusz]

no i jak pomogły wam te przygotowania?

[Aura]

Mnie chyba pomogły

[Ptolemeusz]

no napiszcie cos więcej jakie były zadania i w ogóle jak odczucia ?

[Aura]

nie wiem czy kogoś będa interesowac zadania z mojego poziomu(klasy I szkół ponadgimnazjalnych i 3 gim), poza tym ja już wiem jak należało je zrobić Jedno wiem poniewczasie:] Ale nic, i tak jest gut.

[Skrzypu]

Pokaż te zadania z pierwszego poziomu, z drugiego zamieszczę jutro

[dem]

Skrzypu jak tam finał mmożesz wklepać zadanka?jak ci poszło?

[Aura]

Poziom I

1. Wykaż, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a}}\) jest całkowita, to również \(\displaystyle{ a^{5}+\frac{1}{a^{5}}}\) jest liczbą całkowitą.

2. Na okręgu opisano pięciokat o kolejnych bokach długości a, b, c, d, e. Wyznacz długości odcinków, na jakie został podzielony bok długości a punktem styczności z okręgiem.

3. Udowodnij, że jeśli dla każdego x rzeczywistego f(x+2)+f(x-2)=0, to funkcja f jest okresowa. Znajdź okres tej funkcji. Czy mozna wnioskować, że jest to okres zasadniczy?

4. Znajdź sumę wszystkich liczb trzycyfrowych, których wszystkie cyfry są nieparzyste. Opisz sposób obliczeń.

5. Długości boków dwóch prostokatów wyrażają się liczbami całkowitymi dodatnimi. W każdym prostokącie długość jednego boku nie jest większa od 60, a długość drugiego jest większa od 2000. Wykaż, że boki tych prostokatów sa równe, jeśli ich przekątne sa równe.