p-dziedzina i różnowartościowość

[Simong]

Mam takie pytanie: czy żadnej z tych funkcji nie mogę narysować tak, aby nie robić przebiego zmienności? Jeśli tak to które i jak można to zrobić inaczej?

A funkcje te to:

a) \(\displaystyle{ \frac{2x}{x ^{2} +1}}\)


b) \(\displaystyle{ { \frac{2x + 1}{x-1} dla x 1 \choose 1 dla x=1}}\)


c) \(\displaystyle{ { \frac{x}{x+1} dla 1 -1 \choose x dla x=-1}}\)


Trudność mi trochę sprawia sprawdzenie różnowartości w pierwszym, bo doszedłem do:

\(\displaystyle{ \frac{2x _{1}x_{2} ^{2}-2x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1}-2x_{2} }{(x_{2}^{2}+1)(x_{1}^{2}+1)}}\)


oraz to żeby sprawdzić dla dalszych funkcji, które są nieciągłe.

Natomiast jeśli chodzi o ustalenie przeciwdziedziny, nieysując wykresów, to kompletnie nie mam pojęcia jak to zrobić. Jeśli wiecie to poweidzcie jak to zrobić z definicji.

[gajatko]

Ależ badanie przebiegu i rysowanie dziwnych wykresów to sama przyjemność !
Co do b i c to są zwykłe hiperbole w danym przedziale (poza tymi przedziałami to odpowiednio f. stała i punkt)
np. b) \(\displaystyle{ \frac{2x + 1}{x-1} =\frac{2(x - 1) + 3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}}\)
tj. \(\displaystyle{ \frac{3}{x}}\) przesunięte o wektor \(\displaystyle{ [1,2]}\)

a)
Co do różnowartościowości, to z badania znaku pochodnej:
\(\displaystyle{ sgn(f'(x))=sgn(-x^2+1)}\) (bo mianownik zawsze dodatni etc.)
Nie jest monotoniczna & jest ciągła, czyli nie może być różnowartościowa.

A w przypadku b i c to sprawa jest dosyć jasna:
b) f. stała y=1 jest bardzo nieróżnowartościowa (jest bardzo dużo takich x że y(x) = 1)
c) To -1 w pkcie -1 sprawia, że jeden z punktów dolnej gałęzi jest powielony. Może chodziło o -x?

[Simong]

A jakby było:

\(\displaystyle{ \frac{100x-12}{2x-4}}\)

to jak to trzeba, bo próbuję, tak jak Ty ale mi nie wychodzi.

[gajatko]

Ogólnie to liczby x-ów w liczniku nie możesz zmienić, a w nawiasie ma być to, co w mianowniku. A więc:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\alpha x+a}{\beta x+b}=\frac{{\alpha\over\beta}(\beta x+b)-{\alpha\over\beta}b+a}{\beta x+b}={\alpha\over\beta}+\frac{a-{\alpha\over\beta}b}{\beta x+b}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{100x-12}{12x-4}=\frac{25x-3}{3x-1}=\frac{{25\over 3}(3x-1)+{25\over 3}-3}{3x-1}={25\over 3}+\frac{16}{9x-3}}\)