oblicz granicę ciągu \(\displaystyle{ n ( ln \ n - ln \ (n+2) )}\)
jakieś wskazówki ? bo utknelam na symbolu nieoznaczonosci niesk * 0
granica ciągu - logarytm
-
gajatko
- Użytkownik
- Posty: 135
- Rejestracja: 16 sty 2008, o 20:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 36 razy
granica ciągu - logarytm
\(\displaystyle{ \lim n(\ln n-\ln (n+2))=\lim\frac{\ln n-\ln(n+2)}{{1\over n}}=\\
=\lim\frac{{1\over n}-{1\over n+2}}{-{1\over n^2}}=\lim\frac{\frac{n+2-n}{n(n+2)}}{-\frac{1}{n^2}}=\\
=\ln\frac{-2n}{n+2}=-2}\)
Alternatywnie, bez l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim n(\ln n-\ln (n+2))=\lim n\ln({n\over n+2})=\lim n\ln(1-{2\over n+2})=\\
=\lim \ln(1-{2\over n+2})^n=\lim \ln(1-{2\over n+2})^{(-{n+2\over 2})(-{2\over n+2})n}=\\
=\lim-{2n\over n+2}\ln e=\lim -{2n\over n+2}=-2}\)
=\lim\frac{{1\over n}-{1\over n+2}}{-{1\over n^2}}=\lim\frac{\frac{n+2-n}{n(n+2)}}{-\frac{1}{n^2}}=\\
=\ln\frac{-2n}{n+2}=-2}\)
Alternatywnie, bez l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim n(\ln n-\ln (n+2))=\lim n\ln({n\over n+2})=\lim n\ln(1-{2\over n+2})=\\
=\lim \ln(1-{2\over n+2})^n=\lim \ln(1-{2\over n+2})^{(-{n+2\over 2})(-{2\over n+2})n}=\\
=\lim-{2n\over n+2}\ln e=\lim -{2n\over n+2}=-2}\)