Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

[piotrek9299]

Wykaż, że
\(\displaystyle{ \frac{14n+4}{21n+4}}\)
Jest ulamkiem nieskracalnym
\(\displaystyle{ n N}\)
Oczywiscie, wiem, ze zeby byl nieskracalny to NWD licznika i mianownika musi byc rowne jeden, ale co dalej to nie mam pojecia ;((
Dostalem podpowiedz, zeby udowodnic, ze jesli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) sa wzglednie pierwsze, to \(\displaystyle{ a - b}\) i \(\displaystyle{ b}\) tez sa wzglednie pierwsze, ale tego tez nie wiem jak zrobić;/

[smigol]

Co do dowodu, to spójrz 3 tematy niżej...

[mdz]

Niech \(\displaystyle{ NWD(14n+4,21n+4)=d}\), wtedy \(\displaystyle{ d}\) dzieli liczbę: \(\displaystyle{ 3(14n+4)-2(21n+4)=4}\), ponieważ dodatkowo \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą nieparzystą, więc \(\displaystyle{ d=1}\), c.k.d.

[piotrek9299]

Skąd się wzięło 3 i 2??

Możesz mi to tak łopatologicznie po kolei wytłumaczyć?

[MagdaW]

Jeżeli pomnożymy liczby których NWD wynosi d przez dwie liczby względnie pierwsze różne od dwóch początkowych liczb to NWD tych liczb się nie zmieni. Wybierasz takie liczby, aby można było "skrócić" n

[mdz]

Jeżeli pomnożymy liczby których NWD wynosi d przez dwie liczby względnie pierwsze różne od dwóch początkowych liczb to NWD tych liczb się nie zmieni.

Niestety nie jest to prawdą. W powyższym rozwiązaniu wykorzystałem jedynie fakt, że \(\displaystyle{ d}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ 3(14n+4)-2(21n+4)}\), jako sumę liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ d}\). Dodatkowo, założenie, że \(\displaystyle{ d}\) jest \(\displaystyle{ NWD}\) tych liczb jest zbędne- wystarczy przyjąć, że jest ich dowolnym wspólnym dzielnikiem. Ponieważ sytuacja taka ma miejsce tylko dla \(\displaystyle{ d=1}\), więc istotnie liczby te są względnie pierwsze.

[MagdaW]

\(\displaystyle{ a=dx b=dy, (x,y)=1}\)
\(\displaystyle{ ak=dxk bl=dly, (k, l)=1 (k, l, x, y)=1 (kx, ly)=1}\)
A to jest to, co napisałam. Nie mogę znaleźć błędu. Podaj jakiś kontrprzykład albo napisz, gdzie tkwi błąd. Będę wdzięczna za pomoc.

[piotrek9299]

Dzięki wszystkim.
A daloby sie jakos wykorzystac w rozwiazaniu tego zadania podpowiedz ktora dostalem ?;p

[Sylwek]

ponieważ dodatkowo d jest liczbą nieparzystą

Nie, teza zadania jest fałszywa, wystarczy wziąć np. n=4. Mniemam, że w liczniku zamiast +4 powinno być +3, przedstawię dowód w takiej sytuacji.

A daloby sie jakos wykorzystac w rozwiazaniu tego zadania podpowiedz ktora dostalem

Owszem, z Algorytmu Euklidesa:
\(\displaystyle{ NWD(21n+4,14n+3)=NWD(21n+4-(14n+3),14n+3)= \\ =NWD(7n+1,14n+3)=NWD(7n+1,14n+3-2(7n+1))= \\ =NWD(7n+1,1)=1}\)
co należało dowieść.

[piotrek9299]

Dziekuje wszystkim.

[mdz]

Z niewyjaśnionej przyczyny przyjąłem, że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, a wtedy teza oraz zaprezentowany dowód są poprawne.

Jeżeli pomnożymy liczby których NWD wynosi d przez dwie liczby względnie pierwsze różne od dwóch początkowych liczb to NWD tych liczb się nie zmieni. Wybierasz takie liczby, aby można było "skrócić" n

To jest w oczywisty sposób nieprawdziwe, np. \(\displaystyle{ (6,35)=1}\), oraz \(\displaystyle{ (5,3)=1}\), ale \(\displaystyle{ (30,105)=15}\). Trzeba jeszcze założyć, że liczba przez którą mnożysz pierwszą z liczb jest względnie pierwsza z drugą i na odwrót.

[MagdaW]

Ja to założyłam (Założyłam nawet trochę za dużo). Przyjrzyj się \(\displaystyle{ (k, l, x, y)=1}\)

[mdz]

Z Twojego pierwszego posta-którego sensowność podważyłem- to nie wynikało, więc najwyraźniej trochę nieprecyzyjnie sformułowałaś myśli.