Funkcja odwrotna do danej

[pawel.l89]

Znaleźć wzór funkcji odwrotnej do danej:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2x ^{2}, x>1 \\ 2x-1 , x qslant 1 \end{cases}}\)

[gajatko]

Tak się składa, że f(1)=1, tj. punkt zmiany wzoru leży na prostej y=x, zatem można złożyć funkcję odwrotną z funkcji składowych f(x).

1.
\(\displaystyle{ y=2x^2\\
x=\sqrt\frac{y}{2}}\)
2.
\(\displaystyle{ y=2x-1\\
x={1\over 2}(y+1)}\)

Stąd
\(\displaystyle{ f^{-1}(x)= \begin{cases}\sqrt\frac{x}{2}, x>2 \\ {1\over 2}(x+1) , x\le 1 \end{cases}}\)

[bedbet]

\(\displaystyle{ f^{-1}(x)=\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{2}} \ , \ x>2\\ \frac{x+1}{2} \ , \ x\leqslant 1\end{cases}}\)

gajatko źle dziedzine wyznaczyłeś.

[gajatko]

copy & paste error

[pawel.l89]

No właśnie a co się dzieje w przedziale \(\displaystyle{ 1qslant 2}\) ?

[gajatko]

Dziedziną funkcji odwrotnej jest zbiór wartości pierwszej fukncji.
Tutaj:
\(\displaystyle{ D_{f^{-1}}=(-\infty, 1]+(2,\infty)}\)
W przedziale \(\displaystyle{ (1, 2]}\), \(\displaystyle{ f^{-1}}\) nie przyjmuje żadnej wartości, bo nie ma takiego \(\displaystyle{ x}\) żeby \(\displaystyle{ f(x)\in(1,2]}\). (patrz wykres)