Zbiór wartości funkcji, funkcja różnowartościowa

[MaRcIn1642]

Funkcja f określona jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2}-1}{x}}\)

a) wykaż że zbiorem wartości funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.
b) uzasadnij że funkcja f nie jest różnowartościowa

[wb]

a) Niech \(\displaystyle{ r\in R}\) będzie dowolną liczbą.

Wówczas:
\(\displaystyle{ \frac{x^2-1}{x}=r \\ \frac{x^2-rx-1}{x}=0 \\ x^2-rx-1=0 \\ \Delta =r^2+4>0}\)
dla dowolnej liczby rzeczywistej, co oznacza, że równanie pierwsze ma zawsze rozwiązania, czyli dowolna liczba jest wartością danej funkcji.


b)
Niech \(\displaystyle{ x_1 x_2}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)= \frac{x_1^2-1}{x_1} - \frac{x_2^2-1}{x_2}= \frac{x_1^2x_2-x_2-x_1x_2^2+x_1}{x_1x_2}= \frac{x_1x_2(x_1-x_2)+(x_1-x_2)}{x_1x_2}= \\= \frac{(x_1-x_2)(x_1x_2+1)}{x_1x_2}}\)

Ostatnie wyrażenie jest równe zeru dla:
\(\displaystyle{ x_1x_2+1=0 \\x_1x_2=-1}\)
co oznacza, że np. dla \(\displaystyle{ x_1=1 \ \ , \ \ x_2=-1}\)
spełnione są warunki:
\(\displaystyle{ x_1 x_2 f(x_1)=f(x_2)}\)
co oznacza, że funkcja nie jest różnowartościowa.