Wahadło matematyczne

[forgetmenot21]

Na jakiej podstawie możemy we wzorze:
\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } \left[ 1+ \left( \frac{1}{2}\right) ^{2} \sin ^{2}\theta _{m} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) ^2 \sin ^{4}\theta_{m} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) ^2 \sin ^{6}\theta_{m} + ...\right]}\)
zaniedbać wszystkie wyrazy w nawiasie z wyjątkiem jedności? Przez co uzyskujemy przybliżony wzór na okres ruchu wahadła(dla tzw. małych drgań):
\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }}\)
Ten rozszerzony wzór to jakiś szereg? skąd go bierzemy?

[sirpietros]

Jest to rozwiniecie czasu \(\displaystyle{ T}\) w szereg Taylora (rozwiniecie bardzo przydatne i czesto stosowane w fizyce).
To ile wyrazow zaniedbamy okresla z jakim przyblizeniem chcemy otrzymac to \(\displaystyle{ T}\).
Zauwaz, ze dla malych katow \(\displaystyle{ sin(\theta) = \theta}\), stad \(\displaystyle{ sin^{2}(\theta}) = \theta^{2}}\), zatem kazdy kolejny wyraz jest bardzo maly - zaniedbywalny wrecz. Bo tak naprawde nie ma znaczenia czy okres tego wahadla to np. \(\displaystyle{ T = 4[s]}\) czy \(\displaystyle{ T=4,000001 [s]}\) .....